Lectures on p-adic Differential Equations

کار حاضر خواص p-adic راه حل های معادله دیفرانسیل فوق هندسی d2 d ~ (x(l - x) dx + (c(l - x) + (c - 1 - a - b)x) dx را بررسی می کند. - ab)y = 0، 2 با a، b، c در 4) n Zp، با ساختن ساختار Frobenius مرتبط. برای این ساخت ما از روش های آلن آدولفسون [1] در کار او در سال 1976 در مورد چند جمله ای های هک استفاده می کنیم. ما همچنین به خاطر توضیح (که به صورت پیوست) رابطه بین این معادله دیفرانسیل و برخی از توابع L را مدیون او هستیم. ما مدیون G. Washnitzer برای روش مورد استفاده در ساخت نظریه دوگانه خود هستیم (فصل 2). این یادداشت‌ها بیانگر شکل گسترده‌ای از سخنرانی‌های ارائه شده در U. L. P. در استراسبورگ در طول ترم پاییز 1980 است. ما از این فرصت استفاده می‌کنیم تا از مهمان نوازی پروفسور R. Girard و IRMA تشکر کنیم. تحلیل موضوعی-p-adic ما توسط مارک کراسنر تأسیس شد. ما از تقدیم این اثر به او خرسندیم. مطالب 1 مقدمه . . . . . . . . . . 1. فضای L (نظریه جبری) 8 2. نظریه دوگانه (جبری) 14 3. نظریه استعلایی. . . . 33 4. نظریه دوگانه تحلیلی. . . . . 48 . . . . . . . . . . 110 9. ماتریس حل نرمال شده . . . . . . 113 10. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم Nilpotent با تکینگی های فوشین . . . . 11 . . . . . ماژول معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم توانهای ofp ..... .

The present work treats p-adic properties of solutions of the hypergeometric differential equation d2 d ~ ( x(l - x) dx + (c(l - x) + (c - 1 - a - b)x) dx - ab)y = 0, 2 with a, b, c in 4) n Zp, by constructing the associated Frobenius structure. For this construction we draw upon the methods of Alan Adolphson [1] in his 1976 work on Hecke polynomials. We are also indebted to him for the account (appearing as an appendix) of the relation between this differential equation and certain L-functions. We are indebted to G. Washnitzer for the method used in the construction of our dual theory (Chapter 2). These notes represent an expanded form of lectures given at the U. L. P. in Strasbourg during the fall term of 1980. We take this opportunity to thank Professor R. Girard and IRMA for their hospitality. Our subject-p-adic analysis-was founded by Marc Krasner. We take pleasure in dedicating this work to him. Contents 1 Introduction . . . . . . . . . . 1. The Space L (Algebraic Theory) 8 2. Dual Theory (Algebraic) 14 3. Transcendental Theory . . . . 33 4. Analytic Dual Theory. . . . . 48 5. Basic Properties of", Operator. 73 6. Calculation Modulo p of the Matrix of ~ f,h 92 7. Hasse Invariants . . . . . . 108 8. The a --+ a' Map . . . . . . . . . . . . 110 9. Normalized Solution Matrix. . . . . .. 113 10. Nilpotent Second-Order Linear Differential Equations with Fuchsian Singularities. . . . . . . . . . . . . 137 11. Second-Order Linear Differential Equations Modulo Powers ofp ..... .