Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry

در حال حاضر، متوسط ​​رشته ریاضی در مقطع کارشناسی، ریاضیات را به شدت تقسیم بندی می کند. بعد از حساب دیفرانسیل و انتگرال، یک دوره تحلیل و یک دوره جبر می گذراند. بسته به علایق او (یا علایق بخشش)، دوره هایی را در موضوعات خاص می گذراند. اگر او در معرض توپولوژی قرار گیرد، معمولاً توپولوژی مجموعه نقطه ای ساده است. اگر او در معرض ژئوم تری قرار گیرد، معمولاً هندسه دیفرانسیل کلاسیک است. افشاگری های هیجان انگیز مبنی بر وجود یکپارچگی در ریاضیات، همپوشانی رشته ها، اینکه تکنیک های یک رشته در رشته دیگر کاربرد دارد، در مقطع کارشناسی رد می شود. او باید منتظر بماند تا به خوبی وارد کار فارغ التحصیل شود تا ارتباطات متقابل را ببیند، احتمالاً به این دلیل که قبلاً به اندازه کافی نمی دانست. این یادداشت ها تلاشی برای از بین بردن این تقسیم بندی، حداقل در توپولوژی-هندسه است. آنچه دانش آموز در جبر و حساب پیشرفته آموخته است برای اثبات برخی از نتایج نسبتاً عمیق مربوط به هندسه، توپول شناسی و نظریه گروه استفاده می شود. (قضیه دی رام، قضیه گاوس-بونه برای سطوح، رابطه تابعی گروه بنیادی با فضای پوشاننده، و سطوح با انحنای ثابت به عنوان فضاهای همگن، قابل توجه ترین مثال ها هستند.) در دو فصل اول، نکات ضروری نقطه ابتدایی توپولوژی مجموعه با اشاره ای به کاربرد موضوع در تجزیه و تحلیل عملکردی ارائه شده است.

At the present time, the average undergraduate mathematics major finds mathematics heavily compartmentalized. After the calculus, he takes a course in analysis and a course in algebra. Depending upon his interests (or those of his department), he takes courses in special topics. Ifhe is exposed to topology, it is usually straightforward point set topology; if he is exposed to geom­ etry, it is usually classical differential geometry. The exciting revelations that there is some unity in mathematics, that fields overlap, that techniques of one field have applications in another, are denied the undergraduate. He must wait until he is well into graduate work to see interconnections, presumably because earlier he doesn't know enough. These notes are an attempt to break up this compartmentalization, at least in topology-geometry. What the student has learned in algebra and advanced calculus are used to prove some fairly deep results relating geometry, topol­ ogy, and group theory. (De Rham's theorem, the Gauss-Bonnet theorem for surfaces, the functorial relation of fundamental group to covering space, and surfaces of constant curvature as homogeneous spaces are the most note­ worthy examples.) In the first two chapters the bare essentials of elementary point set topology are set forth with some hint ofthe subject's application to functional analysis.