Lattice Concepts of Module Theory

مثلاً از دهه 1970، برای هر کتاب در مورد نظریه ماژول، اشاره و اثبات برخی تعمیم‌ها (اما نه بیشتر از 15 تا 20 صفحه) به شبکه‌های (عمدتاً مدولار) معمول‌تر شد. این با این تصور که امروزه به طور گسترده پذیرفته شده است که ساختار یک ماژول روی یک حلقه به بهترین وجه از نظر ساختار شبکه شبکه زیرماژول آن درک می شود، توجیه شد. با استناد به لوئیس اچ. روون "این مثال مهم (شبکه همه زیر ماژول های یک ماژول) دلیل وجودی برای مطالعه نظریه شبکه توسط نظریه پردازان حلقه است". در واقع، بسیاری از نتایج نظری ماژول را می توان تنها با استفاده از تئوری شبکه اثبات کرد. هدف این کتاب جمع‌آوری و ارائه همه و تنها نتایج از این دست است، اگرچه برای این منظور باید تئوری شبکه‌ای قابل توجهی را توسعه داد. نتایج این کتاب از دسته‌های زیر است: فولکلور نظریه شبکه (که در هر کتاب نظریه شبکه یافت می‌شود)، نتایج نظری ماژول که در شبکه‌های (مدولار، و احتمالاً تولید فشرده) تعمیم داده شده است (که در برخی از 6 تا یافت می‌شود. 7 کتاب منتشر شده در 20 سال گذشته)، نتایج بسیار ویژه ماژول-نظری که در شبکه ها تعمیم داده شده اند (به عنوان مثال، خلوص در فصل 9 و چندین بعد در فصل 13، که بیشتر به ترتیب در [27]، [34] و [18] یافت می شود. ]) و برخی مفاهیم جدید (به عنوان مثال

It became more and more usual, from, say, the 1970s, for each book on Module Theory, to point out and prove some (but in no more than 15 to 20 pages) generalizations to (mostly modular) lattices. This was justified by the nowadays widely accepted perception that the structure of a module over a ring is best understood in terms of the lattice struc­ ture of its submodule lattice. Citing Louis H. Rowen "this important example (the lattice of all the submodules of a module) is the raison d'etre for the study of lattice theory by ring theorists". Indeed, many module-theoretic results can be proved by using lattice theory alone. The purpose of this book is to collect and present all and only the results of this kind, although for this purpose one must develop some significant lattice theory. The results in this book are of the following categories: the folklore of Lattice Theory (to be found in each Lattice Theory book), module­ theoretic results generalized in (modular, and possibly compactly gen­ erated) lattices (to be found in some 6 to 7 books published in the last 20 years), very special module-theoretic results generalized in lattices (e. g. , purity in Chapter 9 and several dimensions in Chapter 13, to be found mostly in [27], respectively, [34] and [18]) and some new con­ cepts (e. g.