Language, Truth and Logic in Mathematics

به طور تقریبی می توان دو رویکرد متفاوت به فلسفه ریاضیات را متمایز کرد. از یک سو، برخی از فیلسوفان (و برخی از ریاضیدانان) ماهیت و نتایج فعالیت های ریاضیدانان را آن گونه که گفته شده است، در نظر می گیرند و در ادامه به این پرسش می پردازند که شاید بتوان چه اخلاقیات فلسفی را در داستان آنها یافت. از سوی دیگر، برخی از فیلسوفان، منطق‌دانان و ریاضیدانان تلاش کرده‌اند یا می‌کوشند تا مفاهیمی را که ریاضیدانان در کار خود به کار می‌برند، مورد بررسی انتقادی قرار دهند. در عمل این معمولاً به معنای بررسی دقیق ابزارهای منطقی و زبانی ریاضیدانان است. چنین بررسی دقیقی به ندرت می تواند به تکیه بر ایده ها و اصول فلسفی کمک کند. به عبارت دیگر به ندرت می تواند به مطالعه زبان، حقیقت و منطق در ریاضیات کمک کند، البته نه لزوماً در روح AJ. آیر. همانطور که عنوان آن نشان می دهد، مقالات موجود در جلد حاضر رویکرد اخیر را نشان می دهد. در بیشتر آنها یکی از مفاهیم اساسی در مبانی ریاضیات و منطق از دیدگاهی تا حد زیادی بدیع مورد بررسی قرار می گیرد. به طور معمول، معلوم می شود که مفهوم مورد بحث نیاز به بازنگری یا بازنگری دارد یا حداقل می توان پیچ و تاب جدیدی به آن داد. با این حال، نتایج چنین بررسی مجددی اساساً حیاتی نیستند، اما معمولاً فرصت‌های سازنده جدیدی را می‌گشایند. پیامدهای چنین ساختارشکنی ها و بازسازی هایی اغلب کاملاً گسترده است و در همان مقاله یا در مقالات دیگر مورد بررسی قرار می گیرد.

One can distinguish, roughly speaking, two different approaches to the philosophy of mathematics. On the one hand, some philosophers (and some mathematicians) take the nature and the results of mathematicians' activities as given, and go on to ask what philosophical morals one might perhaps find in their story. On the other hand, some philosophers, logicians and mathematicians have tried or are trying to subject the very concepts which mathematicians are using in their work to critical scrutiny. In practice this usually means scrutinizing the logical and linguistic tools mathematicians wield. Such scrutiny can scarcely help relying on philosophical ideas and principles. In other words it can scarcely help being literally a study of language, truth and logic in mathematics, albeit not necessarily in the spirit of AJ. Ayer. As its title indicates, the essays included in the present volume represent the latter approach. In most of them one of the fundamental concepts in the foundations of mathematics and logic is subjected to a scrutiny from a largely novel point of view. Typically, it turns out that the concept in question is in need of a revision or reconsideration or at least can be given a new twist. The results of such a re-examination are not primarily critical, however, but typically open up new constructive possibilities. The consequences of such deconstructions and reconstructions are often quite sweeping, and are explored in the same paper or in others.