Keine Probleme mit Inversen Problemen: Eine Einführung in ihre stabile Lösung

مشکلات معکوس در فناوری پیشرفته امروزی رایج هستند. هرگاه کسی بخواهد علت یک اثر مشاهده شده (اندازه گیری شده) را استنباط کند، مشکل معکوس وجود دارد. به عنوان مثال، در توموگرافی کامپیوتری، کاهش اشعه ایکس زمانی که از یک جسم (به عنوان مثال بدن انسان) عبور می کند، اندازه گیری می شود. علت کاهش چگالی جسم است. مثال دیگر توموگرافی اولتراسونیک است: در اینجا، پراکندگی امواج صوتی بر روی یک جسم مشاهده می شود که ناشی از شکل جسمی است که می خواهید استنباط کنید. از نقطه نظر ریاضی، مسائل معکوس شامل حل معادلات عملگر است. این معادلات معمولاً نامناسب هستند، یعنی تغییرات کوچک (مثلاً خطاهای اندازه گیری) در اثرات منجر به تغییرات بزرگ در علل مرتبط می شود. باید اقدامات مناسب برای کاهش این تقویت خطا در فرآیند حل انجام شود: مسائل معکوس باید منظم شوند (تثبیت شوند). این کتاب درسی مقدمه‌ای جامع بر مبانی ریاضی برای حل پایدار مسائل معکوس ارائه می‌کند، اما در عین حال کاربردهای عینی را نیز هدف قرار می‌دهد. به عنوان پایه ای برای یک سخنرانی چهار ساعته و برای خودآموزی مناسب است که با تمرینات متعدد پشتیبانی می شود.

Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie häufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schließen möchte, liegt ein inverses Problem vor. So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von Röntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher Körper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel stellt die Ultraschall-Tomographie dar: hier wird die Streuung von Schallwellen an einem Objekt beobachtet, hervorgerufen durch die Form des Objekts, auf die man schließen möchte. Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu lösen. Diese Gleichungen sind typischerweise schlecht gestellt, d.h. kleine Änderungen (z.B. Messfehler) in den Wirkungen ziehen große Änderungen in den zugehörigen Ursachen nach sich. Diese Fehlerverstärkung muss im Lösungsprozess durch geeignete Maßnahmen gedämpft werden: inverse Probleme müssen regularisiert (stabilisiert) werden. Das vorliegende Lehrbuch führt umfassend ein in die mathematischen Grundlagen zur stabilen Lösung inverser Probleme, zielt dabei aber auch auf konkrete Anwendungen ab. Es eignet sich als Grundlage für eine vierstündige Vorlesung und zum Selbststudium, das durch zahlreiche Übungen unterstützt wird.