K-Theory for Operator Algebras

K -نظریه در چند سال اخیر تحولی در مطالعه جبرهای عملگر ایجاد کرده است. نظریه K به عنوان مؤلفه اصلی موضوع «توپول شناسی غیرتبدیلی»، چشم اندازهای جدید گسترده ای را در نظریه ساختار جبرهای C* گشوده است و همچنین منجر به کاربردهای عمیق و غیرمنتظره جبرهای اپراتور در مسائل هندسه شده است. و توپولوژی در نتیجه، بسیاری از مضامین توپولو و عملگرهای جبر به شدت شروع به یادگیری موضوعات یکدیگر کرده‌اند، و به نظر می‌رسد که این دو شاخه از ریاضیات عمیقاً و دائماً در هم تنیده شده‌اند. علیرغم این واقعیت که کل موضوع تنها حدود یک دهه از عمرش می گذرد، نظریه عملگر K اکنون به حالت ثبات نسبی رسیده است. در حالی که بدون شک تحولات و کاربردهای انقلابی بسیار بیشتری در آینده وجود خواهد داشت، به نظر می رسد که نظریه پایه کم و بیش به "شکل نهایی" رسیده است. اما به دلیل جدید بودن این نظریه، تاکنون درمان جامعی وجود نداشته است. از موضوع هدف جاه طلبانه این یادداشت ها پر کردن این شکاف است. ما نظریه K جبرهای Banach، نظریه بسط جبرهای C* و عملگر K-نظریه کاسپاروف را از ابتدا تا پیشرفته ترین جنبه های آن توسعه خواهیم داد. ما برنامه ها را با جزئیات بررسی نمی کنیم. با این حال، چشمگیرترین برنامه های کاربردی تا به امروز را در قسمتی در پایان و همچنین موارد دیگر را در نقاط مناسب در متن ذکر خواهیم کرد.

K -Theory has revolutionized the study of operator algebras in the last few years. As the primary component of the subject of "noncommutative topol­ ogy," K -theory has opened vast new vistas within the structure theory of C*­ algebras, as well as leading to profound and unexpected applications of opera­ tor algebras to problems in geometry and topology. As a result, many topolo­ gists and operator algebraists have feverishly begun trying to learn each others' subjects, and it appears certain that these two branches of mathematics have become deeply and permanently intertwined. Despite the fact that the whole subject is only about a decade old, operator K -theory has now reached a state of relative stability. While there will undoubtedly be many more revolutionary developments and applications in the future, it appears the basic theory has more or less reached a "final form." But because of the newness of the theory, there has so far been no comprehensive treatment of the subject. It is the ambitious goal of these notes to fill this gap. We will develop the K -theory of Banach algebras, the theory of extensions of C*-algebras, and the operator K -theory of Kasparov from scratch to its most advanced aspects. We will not treat applications in detail; however, we will outline the most striking of the applications to date in a section at the end, as well as mentioning others at suitable points in the text.