Invitation to topological robotics

خلاصه:

این کتاب چندین موضوع منتخب از یک حوزه تحقیقاتی نوظهور جدید در رابطه بین توپولوژی و مهندسی را مورد بحث قرار می دهد. اولین موضوع اصلی توپولوژی فضاهای پیکربندی پیوندهای مکانیکی است. این منیفولدها در زمینه های مختلف ریاضیات و سایر علوم مانند مهندسی، آمار، زیست شناسی مولکولی به وجود می آیند. نویسنده برای محاسبه اعداد Betti این فضاهای پیکربندی، تکنیک جدیدی از نظریه مورس را در حضور یک چرخش به کار می‌برد. یک نتیجه قابل توجه از توپولوژی پیوندها که در این کتاب ارائه شده است، راه حل حدس کوین واکر است که بیان می کند که اندازه های نسبی میله های یک پیوند، تا مقدار معینی، توسط جبر cohomology فضای پیکربندی پیوند تعیین می شود. این کتاب همچنین یک رویکرد احتمالی جدید را برای توپولوژی پیوندها توصیف می کند که طول میله ها را به عنوان متغیرهای تصادفی در نظر می گیرد و انتظارات ریاضی اعداد بتی را مطالعه می کند. دومین موضوع اصلی توپولوژی فضاهای پیکربندی مرتبط با چند وجهی است. نویسنده گزارشی از کار زیبای S. R. Gal ارائه می‌کند و فرمولی صریح برای تابع تولیدی که ویژگی‌های اویلر این فضاها را رمزگذاری می‌کند، پیشنهاد می‌کند. در ادامه، نویسنده نظریه گره بازوی ربات را مورد مطالعه قرار می دهد و بر نتیجه مهم اخیر R. Connelly، E. Demain و G. Rote تمرکز می کند. در نهایت، او مشکلات توپولوژیکی ناشی از تئوری الگوریتم‌های برنامه‌ریزی حرکت ربات را بررسی می‌کند و TC(X) ثابت هموتوپی را که پیچیدگی ناوبری فضاهای پیکربندی را اندازه‌گیری می‌کند، مطالعه می‌کند. این کتاب به عنوان یک پیش غذا در نظر گرفته شده است و خواننده را با بسیاری از مسائل توپولوژیکی جذاب با انگیزه مهندسی آشنا می کند.

Synopsis:

This book discusses several selected topics of a new emerging area of research on the interface between topology and engineering. The first main topic is topology of configuration spaces of mechanical linkages. These manifolds arise in various fields of mathematics and in other sciences, e.g., engineering, statistics, molecular biology. To compute Betti numbers of these configuration spaces the author applies a new technique of Morse theory in the presence of an involution. A significant result of topology of linkages presented in this book is a solution of a conjecture of Kevin Walker which states that the relative sizes of bars of a linkage are determined, up to certain equivalence, by the cohomology algebra of the linkage configuration space. This book also describes a new probabilistic approach to topology of linkages which treats the bar lengths as random variables and studies mathematical expectations of Betti numbers. The second main topic is topology of configuration spaces associated to polyhedra. The author gives an account of a beautiful work of S. R. Gal, suggesting an explicit formula for the generating function encoding Euler characteristics of these spaces. Next the author studies the knot theory of a robot arm, focusing on a recent important result of R. Connelly, E. Demain, and G. Rote. Finally, he investigates topological problems arising in the theory of robot motion planning algorithms and studies the homotopy invariant TC(X) measuring navigational complexity of configuration spaces. This book is intended as an appetizer and will introduce the reader to many fascinating topological problems motivated by engineering.