Invariant Differential Operators. Volume 1: Noncompact Semisimple Lie Algebras and Groups

Series Page......Page 3
Title Page......Page 4
Copyright......Page 5
Preface......Page 6
Table of Contents......Page 8
1.1 Symmetries......Page 14
1.2 Invariant Differential Operators......Page 20
1.3 Sketch of Procedure......Page 21
1.4 Organization of the Book......Page 23
2.1.1 Lie Algebras......Page 24
2.1.2 Subalgebras, Ideals, and Factor-Algebras......Page 25
2.1.4 Solvable Lie Algebras......Page 26
2.1.6 Semisimple Lie Algebras......Page 27
2.1.7 Examples......Page 28
2.2.2 Group Actions......Page 31
2.2.4 Homomorphisms......Page 32
2.2.5 Direct and Semidirect Products of Groups......Page 33
2.3.1 Cartan Subalgebra......Page 34
2.3.2 Lemmas on Root Systems......Page 35
2.3.3 Weyl Group......Page 38
2.3.4 Cartan Matrix......Page 39
2.4 Classification of Kac–Moody Algebras......Page 40
2.5.1 Special Linear Algebra......Page 47
2.5.2 Odd Orthogonal Lie Algebra......Page 49
2.5.3 Symplectic Lie Algebra......Page 51
2.5.4 Even Orthogonal Lie Algebra......Page 53
2.5.5 Exceptional Lie Algebra G2......Page 54
2.5.6 Exceptional Lie Algebra F4......Page 55
2.5.7.1 E6......Page 57
2.5.7.2 E7......Page 58
2.5.7.3 E8......Page 59
2.6.1 Realization of Affine Type 1 Kac–Moody Algebras......Page 60
2.6.2 Realization of Affine Type 2 and 3 Kac–Moody Algebras......Page 65
2.6.2.1 A2l......Page 66
2.6.2.4 E6......Page 67
2.6.3 Root System for the Algebras AFF 2 & 3......Page 68
2.7 Chevalley Generators, Serre Relations, and Cartan–Weyl Basis......Page 71
2.8 Highest Weight Representations of Kac–Moody Algebras......Page 74
2.9 Verma Modules......Page 76
2.10 Irreducible Representations......Page 84
2.10.1 Al......Page 85
2.10.3 Bl......Page 86
2.10.4 Dl......Page 88
2.10.5 El......Page 90
2.11.1 Irreducible Quotients of Reducible Verma Modules......Page 91
2.11.2 Embedding Patterns and Mulltiplets......Page 92
2.11.3 Characters of Generic Highest Weight Modules......Page 99
2.11.5 Characters in the Affine Case......Page 101
2.11.6 Example of A(1)1......Page 103
3.1.1 Preliminaries......Page 106
3.1.2 The Structure in Detail......Page 108
3.2 Classification of Noncompact Semisimple Lie Algebras......Page 109
3.3 Parabolic Subalgebras......Page 113
3.4 Complex Simple Lie Algebras Considered as Real Lie Algebras......Page 115
3.5 AI : SL(n,R)......Page 116
3.6 AII : SU*(2n)......Page 119
3.7 AIII : SU(p, r)......Page 120
3.7.1 Case SU(n, n), n > 1......Page 121
3.7.2 Case SU(p, r), p > r ≥ 1......Page 122
3.8 BDI : SO(p, r)......Page 123
3.9 CI : Sp(n,R), n > 1......Page 127
3.10 CII : Sp(p, r)......Page 128
3.11 DIII : SO*(2n)......Page 130
3.12.1 EI : E′6......Page 132
3.12.2 EII : E′′6......Page 133
3.12.4 EIV : Eiv6......Page 135
3.12.5 EV : E′7......Page 136
3.12.6 EVI : E′′7......Page 137
3.12.7 EVII : E′′′7......Page 139
3.12.8 EVIII : E′8......Page 140
3.12.9 EIX : E′′8......Page 142
3.12.10 FI : F′4......Page 144
3.12.12 GI : G′2......Page 145
4.1.1 Preliminaries......Page 146
4.1.2 Classical Groups......Page 147
4.1.3 Types of Lie Groups......Page 148
4.1.5 Cartan and Iwasawa Decompositions......Page 149
4.1.6 Parabolic Subgroups......Page 150
4.2.2 Reducibility and Irreducibility......Page 151
4.2.3 Operations on Representations......Page 152
4.3.1 Compact Lie Groups......Page 153
4.3.2 Noncompact Lie Groups......Page 154
4.3.3 Knapp–Stein Integral Operators......Page 155
4.3.4 ERs of Complex Lie Groups......Page 157
4.4 Unitary Irreducible Representations......Page 158
4.5 Associated Verma Modules......Page 159
4.6.1 Canonical Construction......Page 162
4.7.1 Elementary Representations......Page 165
4.7.2 Discrete Series and Limits Thereof......Page 166
4.8 Explicit Formulae for Singular Vectors......Page 167
4.8.1 Al......Page 168
4.8.2 Dl......Page 169
4.8.4 Bl......Page 170
4.8.6 F4......Page 171
4.8.7 G2......Page 172
4.8.8 Nonstraight Roots......Page 173
5.1.1 Lie Algebra......Page 175
5.1.2 Finite-Dimensional Realization......Page 177
5.1.3 Structure Theory......Page 178
5.2.1 Elementary Representations......Page 179
5.2.3 Singular Vectors......Page 181
5.2.4 Invariant Differential Operators......Page 184
5.2.5 Reducible ERs......Page 185
5.2.6 Holomorphic Discrete Series and Positive Energy Representations......Page 188
5.2.7 Invariant Differential Operators and Equations Related to Positive Energy UIRs......Page 189
5.2.9 Di......Page 190
5.2.10 Massless Representations......Page 191
5.3 Classification of so(5,C) Verma Modules and P0-Induced ERs......Page 192
5.4.1 Character Formulae of AdS Irreps......Page 196
5.4.2 Character Formulae of Positive Energy UIRs......Page 199
6.1.1 Realizations of the Group SU(2, 2)......Page 201
6.1.2 Lie Algebra of SU(2, 2)......Page 202
6.1.3 Restricted Root System, Bruhat and Iwasawa Decompositions......Page 204
6.1.4 Restricted Weyl Group W(G,A0)......Page 206
6.1.5 Parabolic Subalgebras......Page 207
6.1.6 Complexified Lie Algebra......Page 208
6.1.7 Compact and Noncompact Roots......Page 211
6.1.8 Important Subgroups of G......Page 212
6.2 Elementary Representations of SU(2, 2)......Page 215
6.2.1 ERs from the Minimal Parabolic Subgroup P0......Page 216
6.2.2 ERs from the Maximal Cuspidal Parabolic Subgroup P1......Page 217
6.2.3 ERs from the Maximal Noncuspidal Parabolic Subgroup P2......Page 218
6.2.4.1 Parabolic P0......Page 220
6.2.4.2 Parabolic P1......Page 221
6.2.5.1 Some Relations between the ERs Induced from Different Parabolics......Page 222
6.2.5.2 Casimirs......Page 223
6.2.6.1 P0......Page 224
6.2.6.2 P1......Page 226
6.2.6.3 P2......Page 227
6.3.1 Explicit Expressions for the Invariant Differential Operators......Page 228
6.3.2 Multiplet Classification: Case P0......Page 230
6.3.3 Multiplet Classification: Case P2......Page 238
6.3.4.1 j1j2 ≠ 0......Page 242
6.3.4.2 j1j2 = 0......Page 243
6.3.5.1 Main P1 Multiplets......Page 244
6.3.5.2 Symmetrically Reduced Multiplets......Page 247
6.3.5.3 Asymmetrically Reduced Multiplets......Page 248
6.3.5.4 Symmetrically Doubly Reduced Multiplets......Page 249
6.3.5.5 Asymmetrically Doubly Reduced Multiplets......Page 250
7 Kazhdan–Lusztig Polynomials, Subsingular Vectors, and Conditionally Invariant Equations......Page 251
7.1.1 Preliminaries......Page 252
7.1.2 Definition......Page 253
7.1.3 Bernstein–Gel’fand–Gel’fand Example......Page 255
7.1.4 The Other Archetypal sl(4,C) Example......Page 256
7.2 Kazhdan–Lusztig Polynomials......Page 261
7.3.1 Preliminaries on Characters of Lowest Weight Modules......Page 264
7.3.2 Case sl(4,C)......Page 266
7.3.3 Related Character Formulae......Page 272
7.4 KL Polynomials and Subsingular Vectors: A Conjecture......Page 273
7.5.1 Preliminaries......Page 275
7.5.2 Conditionally Invariant Operators......Page 276
7.6 Application to sl(4,C)......Page 277
7.6.2 Equations Arising from the Other Archetypal sl(4,C) Example......Page 278
8.1 Generalities......Page 284
8.2.1 Choice of Parabolic Subalgebra......Page 287
8.2.2 Main Multiplets......Page 288
8.2.3.1 Reduced Multiplets for p + q Odd......Page 293
8.2.3.2 Special Reduced Multiplets for p + q Odd......Page 294
8.2.3.3 Special Representation Cases for p + q Odd......Page 295
8.2.3.4 Minimal Irreps for p + q Odd......Page 296
8.2.3.5 Singular Vectors Needed for the Invariant Differential Operators......Page 297
8.2.3.6 Reduced Multiplets for p + q Even......Page 298
8.2.3.8 Minimal Irreps for p + q Even......Page 300
8.2.4 Conservation Laws for so(p,q)......Page 301
8.2.5 Remarks on Shadow Fields and History......Page 303
8.2.6 Case so(3, 3) ≈ sl(4,R)......Page 304
8.3 The Lie Algebra su(n,n) and Parabolically Related......Page 305
8.3.1.1 Main Multiplets......Page 306
8.3.1.2 Reduced Multiplets......Page 308
8.3.1.4 Last Reduction of Multiplets......Page 310
8.3.2.1 Main Multiplets......Page 311
8.3.2.2 Main Reduced Multiplets......Page 312
8.3.2.3 Further Reduction of Multiplets......Page 314
8.3.2.5 Last Reduction of Multiplets......Page 318
8.4.1 Preliminaries......Page 319
8.4.2 The Case sp(3,R)......Page 320
8.4.2.1 Reduced Multiplets for sp(3,R)......Page 321
8.4.3 The Case sp(4,R) and sp(2, 2)......Page 322
8.4.3.1 Reduced Multiplets for sp(4,R) and sp(2, 2)......Page 323
8.4.3.2 Special Multiplets for sp(4,R) and sp(2, 2)......Page 325
8.4.4 The Case sp(5,R)......Page 326
8.4.4.1 Reduced Multiplets for sp(5,R)......Page 328
8.4.4.2 Special Multiplets for sp(5,R)......Page 329
8.4.5 The Case sp(6,R) and sp(3, 3)......Page 330
8.4.5.1 Reduced Multiplets for sp(6,R) and sp(3, 3)......Page 333
8.4.5.2 Special Multiplets for sp(6,R) and sp(3, 3)......Page 336
8.5 SO*(4n) Case......Page 338
8.5.1 Main Multiplets......Page 340
8.5.2 Reduced Multiplets and Minimal Irreps......Page 342
8.6 The Lie Algebras E7(–25) and E7(7)......Page 345
8.6.1 Main Type of Multiplets......Page 346
8.6.2 Reduced Multiplets......Page 349
8.7 The Lie Algebras E6(–14), E6(6), and E6(2)......Page 354
8.7.1 Main Type of Multiplets......Page 356
8.7.2.1 Main Reduced Type R62 Multiplets......Page 359
8.7.2.2 Reduced Type R64 Multiplets......Page 361
8.7.2.3 Reduced Type R63 Multiplets......Page 363
8.7.2.4 Reduced Type R61 Multiplets......Page 364
9.1 Preliminaries......Page 366
9.2 k-Verma Modules......Page 368
9.3.2 k = 2......Page 370
9.3.3 k = 3......Page 373
9.4 Multilinear Invariant Differential Operators......Page 375
9.5.1 Setting......Page 376
9.5.2 Minimal Parabolic......Page 377
9.5.3 SL(2,R)......Page 379
9.5.4 SL(3,R)......Page 383
9.6 Examples with k ≥ 3......Page 385
Bibliography......Page 388
Author Index......Page 416
Subject Index......Page 418