Introductory topology

Cover......Page 1
Title page......Page 3
Date-line......Page 4
Dedication......Page 5
Preface......Page 7
Contents......Page 9
Title......Page 13
1-1. The Seven-Bridges Problem......Page 15
1-2. Unicursal Graphs......Page 16
1-3. The Cyclomatic Number......Page 18
1-4. Restrictions on Polyhedra......Page 21
2-1. Polygonal Regions with Matched Edges......Page 27
2-2. Some Elementary Surfaces......Page 32
2-3. Orientability and Non-Orientability......Page 38
2-4. Standard Form for Spheres with Contours and Handles or Crosscaps......Page 41
2-5. A Classification Theorem......Page 45
3-1. Sets and Mappings......Page 53
3-2. Relations, Cartesian Products, Functions......Page 56
3-3. Continuity for Real Functions of Real Variables......Page 60
3-4. Topological Spaces......Page 63
3-5. Homeomorphisms; Definition of Topology......Page 66
3-6. Metric Spaces......Page 68
3-7. Compact Spaces......Page 71
3-8. Brouwer Dimension; The Lebesgue Number......Page 73
4-1. Linear and Convex Subspaces of $E^n$......Page 77
4-2. Dimension Numbers in $E^n$......Page 79
4-3. Barycentric Coordinates......Page 82
4-4. Simplexes......Page 83
4-5. Complexes......Page 86
4-6. Polyhedra; Topological Complexes......Page 87
4-7. Abstract and Generalized Complexes......Page 89
4-8. Realizations of Abstract Complexes......Page 90
4-9. Isomorphisms and Homeomorphisms......Page 92
4-10. Simplicial Mappings......Page 93
4-11. Barycentric Subdivisions......Page 94
4-12. General Polyhedral Complexes......Page 98
5-1. Chains, Cycles, and Bounding Cycles......Page 102
5-2. Homology Groups of Finite Simplicial Complexes......Page 108
5-3. Some Lower-dimensional Cases......Page 110
5-4. Homology Groups of a Surface......Page 111
5-5. Surface Topology......Page 118
5-6. Pseudomanifolds......Page 122
5-7. Homology Bases and Incidence Matrices......Page 125
5-8. Connectivity Groups and Numbers......Page 132
5-9. Cohomology Groups......Page 134
5-10. Dual Bases......Page 137
5-11. Comments on Cohomology Groups......Page 138
6-1. Singular Simplexes......Page 140
6-2. Singular $k$-Chains and Groups......Page 142
6-3. Sperner's Lemma; Invariance of Dimension......Page 145
6-4. The Brouwer Fixed-Point Theorem......Page 148
6-5. Invariance of Regionality......Page 151
6-6. Singular and Simplicial Groups on a Topological Polyhedron......Page 153
6-7. Simplicial Subsets of Singular Homology Classes......Page 154
6-8. Chains on Prism Complexes......Page 156
6-9. Invariance of Homology Properties......Page 160
6-10. Classes of Mappings......Page 163
7-1. Some Homology Properties of Pseudomanifolds......Page 165
7-2. The $m$-Sphere......Page 166
7-3. Projective $m$-Space......Page 167
7-4. Local Homology Groups......Page 171
7-5. Topological Manifolds and Homology Manifolds......Page 174
7-6. Cell Complexes......Page 176
7-7. Cellular Subdivisions of a Homology Manifold......Page 179
7-8. The Poincare Duality Theorem......Page 183
7-9. Relative Homology......Page 187
7-10. The Lefschetz Duality Theorem......Page 189
7-11. The Alexander Duality Theorem and Consequences......Page 192
8-1. Paths and Path Products......Page 197
8-2. The Fundamental Group......Page 199
8-3. Relation Between $\Phi(\Sigma)$ and $\mathfrak{H}_1(\Sigma)$......Page 205
8-4. The Fundamental Groups of $E^n$ and of a Circle......Page 211
8-5. The Fundamental Group of a Surface......Page 213
8-6. Covering Complexes......Page 217
8-7. Fundamental Groups and Coverings......Page 220
Bibliography......Page 223
A-1. Basic Terminology......Page 227
A-2. Homomorphisms and Isomorphisms......Page 231
A-3. The Structure of Finitely Generated Abelian Groups......Page 233
A-4. Integral Modules, Contravariant and Covariant Components......Page 242
A-5. Dual Bases in a Module......Page 245
Index of Symbols......Page 249
General Index......Page 251