Introduction to the Galois Correspondence

در این ارائه از مکاتبات گالوا، از نظریه‌های مدرن گروه‌ها و زمینه‌ها برای مطالعه مسائل استفاده می‌شود که قدمت برخی از آنها به یونان باستان بازمی‌گردد. تکنیک های مورد استفاده برای حل این مشکلات، به جای خود راه حل ها، در درجه اول اهمیت قرار دارند. یونانیان باستان به مشکلات ساخت‌پذیری توجه داشتند. به عنوان مثال، آنها سعی کردند تعیین کنند که آیا می توان تنها با استفاده از خط مستقیم و قطب نما، انجام هر یک از وظایف زیر را انجام داد؟ (1) یک مکعب دلخواه را دو برابر کنید. به ویژه، یک مکعب با حجم دو برابر مکعب واحد بسازید. (2) یک زاویه دلخواه را سه برابر کنید. (3) مربع دایره دلخواه. به طور خاص، مربعی با مساحت 1r بسازید. (4) یک چند ضلعی منتظم با n ضلع برای n > 2 بسازید. اگر یک عدد واقعی c را قابل ساخت تعریف کنیم اگر و فقط اگر نقطه (c, 0) را بتوان با شروع از نقاط (0,0) ساخت. و (1,0)، آنگاه ممکن است نشان دهیم که مجموعه اعداد ساختنی یک زیرفیلد از فیلد R از اعداد حقیقی است که حاوی فیلد Q از اعداد گویا است. چنین میدان فرعی را میدان میانی Rover Q می نامند. بنابراین ما می توانیم با مطالعه زمینه های میانی Rover Q بینشی نسبت به مسائل ساخت پذیری بدست آوریم. در فصل 4 نشان خواهیم داد که (1) تا (3) امکان پذیر نیست و ما تعیین خواهیم کرد. شرایط لازم و کافی که عدد صحیح n باید برآورده شود تا بتوان یک چندضلعی منتظم با n ضلع را ساخت.

In this presentation of the Galois correspondence, modern theories of groups and fields are used to study problems, some of which date back to the ancient Greeks. The techniques used to solve these problems, rather than the solutions themselves, are of primary importance. The ancient Greeks were concerned with constructibility problems. For example, they tried to determine if it was possible, using straightedge and compass alone, to perform any of the following tasks? (1) Double an arbitrary cube; in particular, construct a cube with volume twice that of the unit cube. (2) Trisect an arbitrary angle. (3) Square an arbitrary circle; in particular, construct a square with area 1r. (4) Construct a regular polygon with n sides for n > 2. If we define a real number c to be constructible if, and only if, the point (c, 0) can be constructed starting with the points (0,0) and (1,0), then we may show that the set of constructible numbers is a subfield of the field R of real numbers containing the field Q of rational numbers. Such a subfield is called an intermediate field of Rover Q. We may thus gain insight into the constructibility problems by studying intermediate fields of Rover Q. In chapter 4 we will show that (1) through (3) are not possible and we will determine necessary and sufficient conditions that the integer n must satisfy in order that a regular polygon with n sides be constructible.