Introduction to Symplectic Dirac Operators

یکی از ایده‌های اساسی در هندسه دیفرانسیل این است که مطالعه خواص تحلیلی عملگرهای دیفرانسیل خاصی که بر روی بخش‌هایی از بسته‌های برداری عمل می‌کنند، ویژگی‌های هندسی و توپولوژیکی منیفولد پایه زیرین را به دست می‌دهد. میدان‌های اسپینور نمادین بخش‌هایی در یک بسته فضایی L^2-Hilbert روی یک منیفولد سمپلتیک هستند و عملگرهای دیراک که بر روی میدان‌های اسپینور سمپلتیک عمل می‌کنند، به روشی بسیار طبیعی به منیفولد سمپلتیک مرتبط می‌شوند. از این رو می توان انتظار داشت که آنها کاربردهای جالبی در هندسه و توپولوژی سمپلتیک داشته باشند. این عملگرهای ساده دیراک عملگر دیراک نامیده می شوند، زیرا آنها به روشی مشابه به عنوان عملگر دیراک کلاسیک ریمانی شناخته شده از هندسه اسپین ریمانی تعریف می شوند. آنها را سمپلکتیک می نامند زیرا با استفاده از تنظیمات سمپلتیک منیفولد سمپلتیک زیرین ساخته می شوند. این جلد اولین کتابی است که مقدمه ای سیستماتیک و مستقل از نظریه عملگرهای ساده دیراک ارائه می دهد و وضعیت فعلی موضوع را منعکس می کند. در عین حال، در نظر گرفته شده است که این ایده ایجاد شود که هندسه اسپین سمپلتیک و عملگرهای دیراک نمادین ممکن است ابزارهای ارزشمندی در هندسه سمپلتیک و توپولوژی ترکیبی ارائه دهند که به زمینه‌های مهم و حوزه‌های بسیار فعال تحقیقات ریاضی تبدیل شده‌اند.

One of the basic ideas in differential geometry is that the study of analytic properties of certain differential operators acting on sections of vector bundles yields geometric and topological properties of the underlying base manifold. Symplectic spinor fields are sections in an L^2-Hilbert space bundle over a symplectic manifold and symplectic Dirac operators, acting on symplectic spinor fields, are associated to the symplectic manifold in a very natural way. Hence they may be expected to give interesting applications in symplectic geometry and symplectic topology. These symplectic Dirac operators are called Dirac operators, since they are defined in an analogous way as the classical Riemannian Dirac operator known from Riemannian spin geometry. They are called symplectic because they are constructed by use of the symplectic setting of the underlying symplectic manifold. This volume is the first one that gives a systematic and self-contained introduction to the theory of symplectic Dirac operators and reflects the current state of the subject. At the same time, it is intended to establish the idea that symplectic spin geometry and symplectic Dirac operators may give valuable tools in symplectic geometry and symplectic topology, which have become important fields and very active areas of mathematical research.