Introduction to Sofic and Hyperlinear Groups and Connes' Embedding Conjecture

این تک نگاری برخی از نتایج سنگ بنای مطالعه گروه های سوفیک و فراخطی و حدس تعبیه شده کانز را ارائه می دهد. این مفاهیم، ​​و همچنین اثبات بسیاری از نتایج، در چارچوب نظریه مدل برای ساختارهای متریک ارائه شده است. این دیدگاه که به ندرت به طور صریح در ادبیات پذیرفته شده است، ایده های موجود در آن را روشن می کند و ابزارهای اضافی برای حمله به مسائل باز ارائه می دهد.

گروه های سوفی و ​​فراخطی گروه های گسسته قابل شمارش هستند که می توانند به طور مناسب با گروه های متقارن محدود تقریب شوند. و گروه های ماتریس های واحد. این مفاهیم عمیق و پربار که به ترتیب توسط گروموف و رادولسکو در اواخر دهه 1990 معرفی شدند، حجم قابل توجهی از تحقیقات را در 15 سال گذشته برانگیخت و چندین حوزه به ظاهر دور از ریاضیات از جمله نظریه گروه هندسی، جبر عملگر، سیستم های دینامیکی، نمودار را لمس کرد. نظریه و نظریه اطلاعات کوانتومی. چندین حدس دیرینه، که هنوز برای گروه‌های دلخواه باز است، اکنون برای گروه‌های سوفیک یا فراخطی حل و فصل می‌شوند.

این ارائه مستقل است و برای هر کسی با پیش‌زمینه ریاضی در سطح فارغ‌التحصیل قابل دسترسی است. به طور خاص، هیچ دانش خاصی از منطق یا نظریه مدل مورد نیاز نیست. مونوگراف همچنین شامل تمرین‌های زیادی است که به خواننده کمک می‌کند تا با موضوعات موجود آشنا شود.

This monograph presents some cornerstone results in the study of sofic and hyperlinear groups and the closely related Connes' embedding conjecture. These notions, as well as the proofs of many results, are presented in the framework of model theory for metric structures. This point of view, rarely explicitly adopted in the literature, clarifies the ideas therein, and provides additional tools to attack open problems.

Sofic and hyperlinear groups are countable discrete groups that can be suitably approximated by finite symmetric groups and groups of unitary matrices. These deep and fruitful notions, introduced by Gromov and Radulescu, respectively, in the late 1990s, stimulated an impressive amount of research in the last 15 years, touching several seemingly distant areas of mathematics including geometric group theory, operator algebras, dynamical systems, graph theory, and quantum information theory. Several long-standing conjectures, still open for arbitrary groups, are now settled for sofic or hyperlinear groups.

The presentation is self-contained and accessible to anyone with a graduate-level mathematical background. In particular, no specific knowledge of logic or model theory is required. The monograph also contains many exercises, to help familiarize the reader with the topics present.