Introduction to Shape Optimization: Shape Sensitivity Analysis

انگیزه این کتاب عمدتاً با تمایل به حل مسائل بهینه سازی شکل است که در کاربردها، به ویژه در مکانیک سازه و کنترل بهینه سیستم های پارامترهای توزیع شده ایجاد می شوند. بسیاری از چنین مسائلی را می توان به عنوان به حداقل رساندن عملکردهای تعریف شده در یک کلاس از دامنه های مجاز فرموله کرد. بهینه سازی شکل در طراحی و ساخت سازه های صنعتی کاملاً ضروری است. به عنوان مثال، هواپیماها و فضاپیماها باید در عین حال معیارهای بسیار سختگیرانه ای را در مورد عملکرد مکانیکی رعایت کنند، در حالی که تا حد ممکن وزن کمتری دارند. مسئله بهینه‌سازی شکل برای چنین ساختاری شامل یافتن هندسه‌ای از سازه است که یک تابع معین (مثلاً وزن سازه) را به حداقل می‌رساند و در عین حال به طور همزمان محدودیت‌های خاص (مانند ضخامت، انرژی کرنش یا مرزهای جابجایی) را برآورده می‌کند. هندسه سازه را می توان به عنوان یک حوزه معین در فضای سه بعدی اقلیدسی در نظر گرفت. دامنه یک مجموعه باز و محدود است که توپولوژی آن، e. g. ممکن است به سادگی یا دو برابر متصل شود. مرز صاف یا تکه‌ای صاف است، بنابراین مسائل مقدار مرزی که در حوزه تعریف شده‌اند و با معادلات دیفرانسیل جزئی کلاسیک فیزیک ریاضی مرتبط هستند، به خوبی مطرح می‌شوند. به طور کلی تابع هزینه به شکل یک انتگرال بر روی دامنه یا مرز آن است که در آن انتگرال به طور هموار به حل مسئله مقدار مرزی بستگی دارد.

This book is motivated largely by a desire to solve shape optimization prob­ lems that arise in applications, particularly in structural mechanics and in the optimal control of distributed parameter systems. Many such problems can be formulated as the minimization of functionals defined over a class of admissible domains. Shape optimization is quite indispensable in the design and construction of industrial structures. For example, aircraft and spacecraft have to satisfy, at the same time, very strict criteria on mechanical performance while weighing as little as possible. The shape optimization problem for such a structure consists in finding a geometry of the structure which minimizes a given functional (e. g. such as the weight of the structure) and yet simultaneously satisfies specific constraints (like thickness, strain energy, or displacement bounds). The geometry of the structure can be considered as a given domain in the three-dimensional Euclidean space. The domain is an open, bounded set whose topology is given, e. g. it may be simply or doubly connected. The boundary is smooth or piecewise smooth, so boundary value problems that are defined in the domain and associated with the classical partial differential equations of mathematical physics are well posed. In general the cost functional takes the form of an integral over the domain or its boundary where the integrand depends smoothly on the solution of a boundary value problem.