Introduction to representation theory

Chapter 1. Introduction......Page 9
§2.1. What is representation theory?......Page 13
§2.2. Algebras......Page 16
§2.3. Representations......Page 17
§2.5. Quotients......Page 23
§2.6. Algebras defined by generators and relations......Page 24
§2.7. Examples of algebras......Page 25
§2.8. Quivers......Page 27
§2.9. Lie algebras......Page 30
§2.10. Historical interlude: Sophus Lie’s trials and transformations......Page 34
§2.11. Tensor products......Page 38
§2.12. The tensor algebra......Page 43
§2.14. Tensor products and duals of representations of Lie algebras......Page 44
§2.15. Representations of sl(2)......Page 45
§2.16. Problems on Lie algebras......Page 47
§3.1. Subrepresentations in semisimple representations......Page 49
§3.2. The density theorem......Page 51
§3.3. Representations of direct sums of matrix algebras......Page 52
§3.4. Filtrations......Page 53
§3.5. Finite dimensional algebras......Page 54
§3.6. Characters of representations......Page 56
§3.7. The Jordan-Holder theorem......Page 58
§3.8. The Krull-Schmidt theorem......Page 59
§3.9. Problems......Page 61
§3.10. Representations of tensor products......Page 64
§4.1. Maschke’s theorem......Page 67
§4.2. Characters......Page 69
§4.3. Examples......Page 70
§4.5. Orthogonality of characters......Page 73
§4.6. Unitary representations. Another proof of Maschke’s theorem for complex representations......Page 76
§4.7. Orthogonality of matrix elements......Page 78
§4.8. Character tables, examples......Page 79
§4.9. Computing tensor product multiplicities using character tables......Page 82
§4.10. Frobenius determinant......Page 83
§4.11. Historical interlude: Georg Frobenius’s “Principle of Horse Trade”......Page 85
§4.12. Problems......Page 89
§4.13. Historical interlude: William Rowan Hamilton’s quaternion of geometry, algebra, metaphysics, and poetry......Page 94
§5.1. Frobenius-Schur indicator......Page 99
§5.2. Algebraic numbers and algebraic integers......Page 101
§5.3. Frobenius divisibility......Page 104
§5.4. Burnside’s theorem......Page 106
§5.5. Historical interlude: William Burnside and intellectual harmony in mathematics......Page 108
§5.6. Representations of products......Page 112
§5.8. Induced representations......Page 113
§5.9. The Frobenius formula for the character of an induced representation......Page 114
§5.10. Frobenius reciprocity......Page 115
§5.12. Representations of Sn......Page 118
§5.13. Proof of the classification theorem for representations of Sn......Page 120
§5.14. Induced representations for Sn......Page 122
§5.15. The Frobenius character formula......Page 123
§5.17. The hook length formula......Page 126
§5.18. Schur-Weyl duality for gl(V)......Page 127
§5.20. Historical interlude: Hermann Weyl at the intersection of limitation and freedom......Page 130
§5.21. Schur polynomials......Page 136
§5.22. The characters of Llambda......Page 137
§5.23. Algebraic representations of GL(V)......Page 138
§5.24. Problems......Page 139
§5.25. Representations of GL2 (Fq)......Page 140
§5.26. Artin’s theorem......Page 149
§5.27. Representations of semidirect products......Page 150
§6.1. Problems......Page 153
§6.2. Indecomposable representations of the quivers A1, A2, A3......Page 158
§6.3. Indecomposable representations of the quiver D4......Page 162
§6.4. Roots......Page 168
§6.5. Gabriel’s theorem......Page 171
§6.6. Reflection functors......Page 172
§6.7. Coxeter elements......Page 177
§6.8. Proof of Gabriel’s theorem......Page 178
§6.9. Problems......Page 181
§7.1. The definition of a category......Page 185
§7.2. Functors......Page 187
§7.3. Morphisms of functors......Page 189
§7.4. Equivalence of categories......Page 190
§7.5. Representable functors......Page 191
§7.6. Adjoint functors......Page 192
§7.7. Abelian categories......Page 194
§7.8. Complexes and cohomology......Page 195
§7.9. Exact functors......Page 198
§7.10. Historical interlude: Eilenberg, Mac Lane, and “general abstract nonsense”......Page 200
§8.1. Projective and injective modules......Page 209
§8.2. Tor and Ext functors......Page 211
§9.1. Lifting of idempotents......Page 217
§9.2. Projective covers......Page 218
§9.3. The Cartan matrix of a finite dimensional algebra......Page 219
§9.4. Homological dimension......Page 220
§9.5. Blocks......Page 221
§9.6. Finite abelian categories......Page 222
§9.7. Morita equivalence......Page 223
References for historical interludes......Page 225
Mathematical references......Page 231
Index......Page 233