Introduction to Random Processes

امروزه، نظریه فرآیندهای تصادفی، حوزه وسیعی از ریاضیات را با شاخه‌های مختلف نشان می‌دهد، و کار انتخاب موضوعات برای معرفی مختصر این نظریه، چندان ساده نیست. این مقدمه برای تئوری فرآیندهای تصادفی از مدل‌های ریاضی استفاده می‌کند که ساده هستند، اما برای کاربردها اهمیت خاصی دارند. ما فرآیندهای مختلفی را در نظر می گیریم که توسعه آنها در زمان به عوامل تصادفی بستگی دارد. مشکل اساسی را می توان به طور خلاصه به روش زیر شرح داد: با توجه به برخی ویژگی های نسبتاً ساده یک فرآیند، احتمال رخداد دیگری را محاسبه کنید که ممکن است بسیار پیچیده باشد. یا یک متغیر تصادفی را که با رفتار فرآیند مرتبط است تخمین بزند. مدل هایی که در نظر می گیریم به گونه ای انتخاب شده اند که با مراجعه به این مدل ها می توان روش های مختلف نظریه فرآیندهای تصادفی را مورد بحث قرار داد. کتاب با پرداختن به فرآیندهای مارکوف همگن با تعداد قابل شمارشی از حالت ها شروع می شود. موضوع اصلی قضیه ارگودیک، روش معادلات دیفرانسیل کولموگروف (بخش های 1-4) و فرآیند حرکت براونی است، حلقه اتصال انتقال از معادلات دیفرانسیل-تفاوت کولموگروف برای پیاده روی تصادفی به معادله انتشار حدی (Sec. 5).

Today, the theory of random processes represents a large field of mathematics with many different branches, and the task of choosing topics for a brief introduction to this theory is far from being simple. This introduction to the theory of random processes uses mathematical models that are simple, but have some importance for applications. We consider different processes, whose development in time depends on some random factors. The fundamental problem can be briefly circumscribed in the following way: given some relatively simple characteristics of a process, compute the probability of another event which may be very complicated; or estimate a random variable which is related to the behaviour of the process. The models that we consider are chosen in such a way that it is possible to discuss the different methods of the theory of random processes by referring to these models. The book starts with a treatment of homogeneous Markov processes with a countable number of states. The main topic is the ergodic theorem, the method of Kolmogorov's differential equations (Secs. 1-4) and the Brownian motion process, the connecting link being the transition from Kolmogorov's differential-difference equations for random walk to a limit diffusion equation (Sec. 5).