Introduction to Nonlinear Dispersive Equations

این کتاب درسی، نظریه موقعیت مناسب را برای مسائل ارزش اولیه معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی و پراکنده، با تمرکز ویژه بر دو مدل کلیدی، معادله Korteweg-de Vries و معادله غیرخطی شرودینگر، معرفی می‌کند. یک بررسی مختصر و مستقل از مواد پس‌زمینه (تبدیل فوریه، نظریه درون‌یابی، فضاهای سوبولف، و معادله شرودینگر خطی) خواننده را برای درک موضوعات اصلی تحت پوشش آماده می‌کند: مسئله مقدار اولیه برای معادله شرودینگر غیرخطی و تعمیم‌یافته. معادله Korteweg-de Vries، خواص راه‌حل‌های آنها و بررسی کلاس‌های عمومی معادلات پراکنده غیرخطی با اهمیت فیزیکی و ریاضی. هر فصل با یک گزارش تخصصی از پیشرفت‌های اخیر و مشکلات باز و همچنین تمرین‌ها به پایان می‌رسد. فصل آخر شرح مفصلی از موقعیت محلی معادله غیرخطی شرودینگر ارائه می‌کند، که خواننده را در خط مقدم تحقیقات اخیر قرار می‌دهد.

ویرایش دوم مقدمه‌ای بر معادلات پراکنده غیرخطی با افزودن مطالب به روز شده در مورد موضوعات اصلی، کتابشناسی گسترده و تمرین های جدید بر موفقیت نسخه اول استوار است. این کتاب تنها با فرض دانش اولیه تحلیل پیچیده و تئوری یکپارچه‌سازی، دانشجویان و محققان فارغ‌التحصیل را قادر می‌سازد تا وارد این حوزه فعال در حال توسعه شوند.

This textbook introduces the well-posedness theory for initial-value problems of nonlinear, dispersive partial differential equations, with special focus on two key models, the Korteweg–de Vries equation and the nonlinear Schrödinger equation. A concise and self-contained treatment of background material (the Fourier transform, interpolation theory, Sobolev spaces, and the linear Schrödinger equation) prepares the reader to understand the main topics covered: the initial-value problem for the nonlinear Schrödinger equation and the generalized Korteweg–de Vries equation, properties of their solutions, and a survey of general classes of nonlinear dispersive equations of physical and mathematical significance. Each chapter ends with an expert account of recent developments and open problems, as well as exercises. The final chapter gives a detailed exposition of local well-posedness for the nonlinear Schrödinger equation, taking the reader to the forefront of recent research.

The second edition of Introduction to Nonlinear Dispersive Equations builds upon the success of the first edition by the addition of updated material on the main topics, an expanded bibliography, and new exercises. Assuming only basic knowledge of complex analysis and integration theory, this book will enable graduate students and researchers to enter this actively developing field.