Introduction to Mathematical Analysis

Preface......Page 8
Contents......Page 10
Introduction......Page 16
Part I A Rigorous Approach to Advanced Calculus......Page 22
1 Real and complex numbers......Page 23
1.1......Page 24
1.2......Page 26
1.3.2 Comment:......Page 27
1.4.1......Page 28
2.2......Page 30
3.1......Page 31
3.5......Page 32
4.2......Page 33
4.4 The Mean Value Theorem......Page 34
4.5.1......Page 35
4.6 Derivatives of higher order and Taylor\'s Theorem......Page 36
4.7 Local extremes......Page 37
5.1......Page 38
6.2 Consequences of Absolute Convergence......Page 39
6.3......Page 40
6.4......Page 42
7.2......Page 43
7.2.2......Page 44
7.4 Remark......Page 45
8.1......Page 46
8.2......Page 47
8.5.1 Convention......Page 49
9 Exercises......Page 50
1.1.1 Examples......Page 52
1.2.1......Page 53
1.3 Convergence......Page 54
1.5......Page 55
2.1......Page 56
2.2......Page 57
3.1 Neighborhoods......Page 58
3.3 Closure......Page 59
3.4......Page 60
3.5......Page 61
4.1......Page 62
4.4......Page 63
4.6......Page 64
4.8.1 Convention......Page 65
5.1......Page 66
5.2 Connectedness of the real numbers......Page 67
5.4 Connected components......Page 68
5.5 A result on bounded closed intervals......Page 69
6.2.1......Page 70
6.6......Page 72
7.3......Page 73
7.6......Page 74
7.7 An Example: Spaces of continuous functions......Page 75
8 Uniform convergence of sequences of functions. Application: Tietze\'s Theorems......Page 76
8.1.1 Remarks......Page 77
8.2.1......Page 78
8.5.2......Page 80
9 Exercises......Page 81
1.1......Page 83
2.1......Page 84
2.2......Page 85
2.4 Directional derivatives......Page 86
2.5......Page 87
2.7......Page 88
3 Composition of functions and the chain rule......Page 89
3.2 What is the total differential?......Page 90
3.3 Lagrange\'s Formula in several variables......Page 91
4.1......Page 92
4.2......Page 93
5.1......Page 95
5.2......Page 96
6.1 A warm-up: what happens in the case of two equations......Page 99
6.3......Page 101
7.1......Page 104
8.1 Taylor\'s Theorem......Page 105
8.3 The Hessian......Page 106
8.5 Local Extremes with constraints. Lagrange multipliers......Page 108
8.7......Page 111
9 Exercises......Page 112
1.1......Page 114
1.2.1......Page 115
1.4 Almost disjoint unions of intervals......Page 116
2 Continuous functions are Riemann integrable......Page 117
3 Fubini\'s Theorem in the continuous case......Page 118
4 Uniform convergence and Dini\'s Theorem......Page 119
4.2 Notation......Page 120
4.4......Page 121
5.1......Page 122
5.2 The class Z......Page 123
6.1......Page 124
6.4 A few immediate facts......Page 125
7.1......Page 126
7.4......Page 127
7.6 Convention......Page 128
8.1......Page 130
8.3......Page 131
9 Exercises......Page 132
1 Lebesgue\'s Theorems......Page 134
2.1......Page 135
2.4......Page 136
3.2 General facts......Page 137
3.3 Special sets......Page 138
4.1......Page 140
4.2......Page 141
4.4 Criteria of measurability......Page 142
5 Parameters......Page 144
6 Fubini\'s Theorem......Page 145
7.1......Page 147
7.5 Assumption......Page 149
8 Hölder\'s inequality, Minkowski\'s inequality and Lp-spaces......Page 152
8.3 The definition of Lp......Page 154
8.4 A comment of complex functions......Page 155
8.5 Completeness of the spaces Lp......Page 156
8.6 An inequality between Lp norms......Page 157
9 Exercises......Page 158
1.2......Page 161
1.3......Page 162
2 Converting a system of ODE\'s to a system of integral equations......Page 163
2.2 Remark......Page 164
3.1......Page 165
4.1......Page 167
4.3......Page 168
5.1 The problems of stability......Page 169
5.1.1 Remark......Page 170
5.3......Page 171
5.5......Page 173
6.3 Separation of variables......Page 177
6.6......Page 179
6.7 The linear equation......Page 180
7.1......Page 181
7.3......Page 182
7.5......Page 183
8.1......Page 184
8.2......Page 185
8.2.1 Example......Page 186
8.3 Example......Page 187
9 Exercises......Page 188
1.1......Page 190
2.1......Page 194
2.3 The Wronski determinants (Wronskians)......Page 195
3.1 The system (L)......Page 196
3.2 The equation (L̃)......Page 197
4.1 The Characteristic Polynomial......Page 198
4.2......Page 199
4.6 Multiple roots......Page 201
5.1......Page 202
5.2......Page 203
5.2.1 Example......Page 204
6 Exercises......Page 205
1.1......Page 207
1.3 Remark......Page 208
1.6 A Remark and a Convention......Page 209
1.9 Some terminology......Page 210
2.2......Page 211
2.2.1 Comment......Page 212
3.1......Page 213
3.4......Page 214
3.7......Page 215
4.3......Page 216
4.5......Page 217
5.1 Smooth partition of unity: a ``baby version\'\'......Page 218
5.3 Comment......Page 219
5.4......Page 220
6 Exercises......Page 223
Part II Analysis and Geometry......Page 225
1.1 A few concepts......Page 226
1.2.2......Page 227
1.3.1......Page 228
2.1......Page 229
2.3......Page 230
2.4......Page 231
3.3......Page 232
4.4......Page 234
4.6 Extension of uniformly continuous maps......Page 236
5.1 T0 and T1......Page 237
5.3 Regularity and complete regularity (T3 and T3+12)......Page 238
5.4.1 Remarks......Page 239
6.1 The Arzelà-Ascoli Theorem......Page 242
6.5......Page 244
6.7 Proof of Theorem 1.1:......Page 245
7 Exercises......Page 247
1.1......Page 249
1.3......Page 250
1.4 Cauchy–Riemann conditions......Page 251
1.7......Page 253
2.3......Page 255
2.5......Page 256
3.2......Page 257
4 Taylor\'s formula, power series, and a uniqueness theorem......Page 260
4.3......Page 262
4.4 A uniqueness theorem......Page 263
5 Applications: Liouville\'s Theorem, the Fundamental Theorem of Algebra and a remark on conformal maps......Page 264
5.3......Page 265
6.1 Laurent series......Page 266
6.2 Classification of isolated singularities and the Residue Theorem......Page 268
6.3 Applications: The Argument Principle and Rouché\'s Theorem......Page 269
6.4 Example: The values of the Riemann zeta function at even integers k≥2......Page 273
7 Exercises......Page 275
1.1......Page 279
1.2 Covariance and contravariance......Page 280
1.4 The double dual......Page 281
1.5 Duals of inner product spaces......Page 282
2.2 The tensor product by universality......Page 283
2.3 The existence of the tensor product......Page 284
2.4 The tensor product and bases......Page 286
2.5 The tensor product and duals......Page 287
3.1 Alternating (multilinear) maps......Page 288
3.3 The Existence of the exterior power......Page 289
3.4 Exterior powers and bases......Page 290
3.5 Remark......Page 291
3.6 The exterior product......Page 292
3.7 The exterior product and duality......Page 294
3.8 The Hodge * operator......Page 295
4 Exercises......Page 296
1.1 Topological manifolds......Page 298
1.2 Smooth manifolds......Page 299
1.4 Examples......Page 300
1.5 Smooth partition of unity......Page 301
2.1 Tangent vectors......Page 303
2.2 The total differential on manifolds......Page 305
2.3 Smooth vector fields and differential forms......Page 306
2.4 Products and functoriality......Page 307
2.5 A Slice Theorem......Page 308
3.1 The exterior derivative......Page 309
3.2 The de Rham complex, de Rham cohomology and Betti numbers......Page 311
4.1 Orientation of smooth manifolds......Page 312
4.2 Integration......Page 313
4.3.2 Integrating over the boundary......Page 314
4.5 Three special cases: grad, div and curl......Page 317
5 Exercises......Page 318
13 Complex Analysis II: Further Topics......Page 322
1.1 Holomorphic self-maps of C and the unit disk......Page 323
1.2 The Riemann Mapping Theorem......Page 325
2.1 Convex polygons......Page 328
3.1 Riemann Surfaces: the basic definitions......Page 332
3.2 The first examples......Page 334
3.3.2 Coverings from (local) primitive functions......Page 335
3.3.3 Paths and homotopy......Page 336
3.4.1 Integration on Riemann surfaces......Page 337
3.4.2 Holomorphic 1-Forms on a Riemann surface......Page 338
3.5 The basis d z, dz......Page 339
3.6 Complex line integrals revisited......Page 341
4 The universal covering and multi-valued functions......Page 343
4.2 Base points, universality and multi-valued functions......Page 345
4.2.4 Multi-valued functions......Page 346
4.2.5 Example......Page 348
4.3 The fundamental group......Page 349
5 Complex analysis beyond holomorphic functions......Page 351
5.2 The ``inverse\'\' Cauchy-Riemann operator......Page 352
6 Exercises......Page 357
1.1......Page 360
2.1 When L does not depend on x......Page 363
2.2 When L does not depend on t......Page 364
2.3 Lagrangian mechanics......Page 365
3.1 A Riemann metric on an open subset of Rn......Page 367
3.2 A trick: modifying the functional......Page 368
3.3 The Euler-Lagrange equation for the modified functional-the geodesic equation......Page 369
4.1 Dependence on boundary conditions, the exponential map......Page 371
4.2.2......Page 372
4.3 Minimality of geodesics......Page 374
5 Exercises......Page 376
15 Tensor Calculus and Riemannian Geometry......Page 378
1.1 Tensors and tensor fields......Page 379
1.2 A coordinate-free meaning for indices......Page 380
1.3 Comment......Page 381
2.2 Locality......Page 382
2.3 Examples......Page 383
2.4.1......Page 384
3 Tensors associated with an affine connection: torsion and curvature......Page 385
3.2......Page 386
3.4 A characterization of the Euclidean connection......Page 387
4.1 Riemann metrics......Page 389
4.2 Riemann metrics and connections......Page 390
4.3 The curvature of a Riemann manifold......Page 391
5 Riemann surfaces and surfaces with Riemann metric......Page 392
5.1 The compatible complex structure......Page 393
5.2 The complex structure on an oriented surface with a Riemann metric: reduction to the equation of holomorphic disks......Page 394
6 Exercises......Page 401
1.1......Page 404
1.3 An important convention......Page 405
2.1......Page 406
3.1......Page 408
3.4......Page 409
3.5.3......Page 410
3.7.1......Page 411
3.8......Page 412
4.1......Page 413
4.5......Page 416
4.8......Page 417
4.10......Page 418
5 The Hahn-Banach Theorem......Page 419
5.4......Page 421
6.2......Page 422
6.4.1 Remark:......Page 423
6.6 The weak topology......Page 424
7.2 Reduction to the real case......Page 426
7.3 The uniform convexity of Lp(B)......Page 427
7.3.3 Proof that Lp(B) is uniformly convex......Page 428
8.1......Page 430
8.6......Page 434
9 Exercises......Page 435
1 Some preliminaries: Integration by a measure......Page 438
1.2 Definition and basic facts about integration of non-negative real functions with respect to a measure......Page 439
1.3 Integration of complex functions over a measure......Page 441
2.1 The spaces Lpμ(X,C)......Page 443
2.2 The Radon-Nikodym Theorem......Page 444
2.3......Page 445
3.2 The derivative of an integral......Page 446
3.3.2 Proof of the Theorem under the hypothesis (*)......Page 449
4.1.1 The subspace of continuous functions with compact support in Lp......Page 451
4.1.2 Comments......Page 452
4.1.4......Page 453
5.1 The continuous Fourier transformation formula......Page 454
5.6 Rapidly decreasing functions......Page 456
5.7 The Fourier Inversion Theorem......Page 457
6 Exercises......Page 459
1.1......Page 461
1.3 An important convention......Page 462
1.6 Generating sets......Page 463
2.1......Page 464
2.2......Page 465
2.3 Conventions......Page 466
3.1......Page 467
3.3......Page 468
3.5 Remark......Page 469
4.2......Page 470
4.3 An important example......Page 471
4.5......Page 472
4.6......Page 473
5.1......Page 474
5.2 Examples......Page 475
5.7 Affine subsets......Page 476
5.9 Affine maps......Page 477
6.1......Page 478
7.1 Matrices......Page 479
7.2 Basic operations with matrices......Page 480
7.4 The standard bases of Fn, Fn......Page 481
7.5 The linear maps fA,fA......Page 482
7.6.2 Different bases, base change......Page 483
8 Exercises......Page 484
1.2......Page 486
2.1......Page 488
2.2 Three views of the task......Page 489
2.4 The Gauss Elimination Method......Page 490
2.5 Regular matrices......Page 492
2.6 Deciding if a Hermitian form is positive-definite or negative-definite......Page 493
3.1......Page 494
3.2 The sign of a permutation......Page 495
3.3......Page 496
4.1 Minors and the inverse matrix......Page 498
4.2 Cramer\'s Rule......Page 499
4.3 Determinants and products of matrices......Page 500
5.1.1 Determining eigenvalues: the characteristic polynomial......Page 502
5.2 The algebra of matrices of type nn......Page 503
5.4......Page 504
5.5......Page 505
6 Exercises......Page 507
Bibliography......Page 509
Index of Symbols......Page 510
Index......Page 512