Introduction to Markov Chains: With Special Emphasis on Rapid Mixing

هدف این کتاب سه چیز است:
-- ما با توصیف ساده لوحانه یک زنجیر مارکوف به عنوان یک راه رفتن تصادفی
بی خاطره در مجموعه ای محدود شروع می کنیم. این با یک تعریف دقیق
در چارچوب نظریه احتمال تکمیل می شود، و سپس ما مهم ترین نتایج را از نظریه زنجیره های مارکوف همگن بر روی فضاهای حالت محدود ایجاد می کنیم.
-- زنجیره ها هستند. اگر همه راه‌های مرتبط،
بدون در نظر گرفتن جایی که شروع کرده‌اند، اختلاط سریع نامیده می‌شود،
در حال حاضر پس از نسبتاً چند مرحله به طور مشابه رفتار می‌کنند: مشاهده زنجیره غیرممکن است که اطلاعاتی درباره موقعیت شروع
بدست آورید. یا تعداد مراحل انجام شده تاکنون ما روش‌هایی را که در دهه‌های اخیر برای بررسی این پدیده پیشنهاد شده‌اند، به‌طور کامل مطالعه خواهیم کرد. می‌توان استفاده کرد.

علاوه بر بررسی زنجیره‌های کلی، کتاب حاوی فصل‌هایی است که به تکنیک‌های ارزش ویژه، رسانایی، زمان‌های توقف، ویژگی مارکوف قوی، کوپلینگ‌ها، یکنواخت قوی مربوط می‌شود
بارها، زنجیره‌های مارکوف بر روی گروه‌های محدود دلخواه (شامل یک دوره تصادف در تحلیل هارمونیک)، تولید و شمارش تصادفی، میدان‌های تصادفی مارکوف، میدان‌های گیبس، نمونه‌گر متروپلیس، و بازپخت شبیه‌سازی شده. از خوانندگان دعوت می شود تا حد امکان از 170 تمرین را حل کنند.

کتاب مستقل است، تاکید بر انگیزه گسترده ایده‌ها به جای دایرةالمعارفی
است. مقدماتی
تئوری احتمال و جبر خطی.

نویسنده استاد ریاضیات در دانشگاه آزاد برلین است، زمینه های تحقیقاتی او تحلیل تابعی و نظریه احتمالات است.

The aims of this book are threefold:
-- We start with a naive description of
a Markov chain as a memoryless random
walk on a finite set. This is complemented by a rigorous
definition in the framework of probability theory, and then we develop
the most important results from the theory of homogeneous Markov
chains on finite state spaces.
-- Chains are called rapidly mixing if all of the associated walks,
regardles of where they started,
behave similarly already after comparitively few steps: it is
impossible from observing the chain to get information on the
starting position or the number of steps done so far. We will
thoroughly study some methods
which have been proposed in the last decades to investigate this
phenomenon.
-- Several examples will be studied to indicate how
the methods treated in this book can be applied.

Besides the investigation of general chains the book contains
chapters which are concerned with eigenvalue techniques, conductance,
stopping times, the strong Markov property, couplings, strong uniform
times, Markov chains on arbitrary finite groups (including a
crash-course in harmonic analysis), random generation and counting,
Markov random fields, Gibbs fields, the Metropolis sampler, and simulated annealing. Readers are invited to solve as many as possible of the 170 exercises.

The book is self-contained, emphasis is laid on an
extensive motivation of the ideas rather than on an encyclopaedic
account.
It can be mastered by everyone who has a background in elementary
probability theory and linear algebra.

The author is professor of mathematics at Free University of Berlin, his fields of research are functional analysis and probability theory.