Introduction to Inverse Problems for Differential Equations

این کتاب یک توضیح سیستماتیک از ایده‌ها و روش‌های اصلی در درمان مسائل معکوس برای PDE‌هایی که در مدل‌های ریاضی پایه ایجاد می‌شوند، ارائه می‌کند، اگرچه هیچ ادعایی مبنی بر جامع بودن ندارد. مدل‌های ریاضی اکثر پدیده‌های فیزیکی توسط مسائل مقدار اولیه و مرزی برای PDEها کنترل می‌شوند و مسائل معکوس حاکم بر این معادلات به طور طبیعی تقریباً در همه شاخه‌های علوم و مهندسی به وجود می‌آیند.

محتوای کتاب، به‌ویژه در مقدمه و قسمت اول، مستقل است و در نظر گرفته شده است که برای دانشجویان تازه‌کار فارغ‌التحصیل نیز قابل دسترسی باشد، که پس‌زمینه ریاضی آن‌ها فقط شامل دروس پایه در حساب پیشرفته، PDE و آنالیز تابعی است. علاوه بر این، این کتاب می تواند به عنوان ستون فقرات یک دوره سخنرانی در مورد مسائل معکوس و بد برای معادلات دیفرانسیل جزئی مورد استفاده قرار گیرد.

به نوبه خود، قسمت دوم کتاب شامل شش تقریباً فصل های مستقل انگیزه انتخاب این فصل‌ها این بود که مسائل ضریب معکوس و منبع در نظر گرفته شده در اینجا بر اساس مدل‌های ریاضی پایه و معمول استفاده می‌شوند که توسط PDEها اداره می‌شوند. این فصل ها نه تنها این مشکلات معکوس، بلکه روش ها و تکنیک های وارونگی اصلی را نیز شرح می دهند. از آنجایی که متمایزترین ویژگی های هر مسئله معکوس مربوط به PDE ها در ویژگی های راه حل های مربوط به مسائل مستقیم پنهان است، توجه ویژه ای به بررسی این ویژگی ها می شود.

This book presents a systematic exposition of the main ideas and methods in treating inverse problems for PDEs arising in basic mathematical models, though it makes no claim to being exhaustive. Mathematical models of most physical phenomena are governed by initial and boundary value problems for PDEs, and inverse problems governed by these equations arise naturally in nearly all branches of science and engineering.

The book’s content, especially in the Introduction and Part I, is self-contained and is intended to also be accessible for beginning graduate students, whose mathematical background includes only basic courses in advanced calculus, PDEs and functional analysis. Further, the book can be used as the backbone for a lecture course on inverse and ill-posed problems for partial differential equations.

In turn, the second part of the book consists of six nearly-independent chapters. The choice of these chapters was motivated by the fact that the inverse coefficient and source problems considered here are based on the basic and commonly used mathematical models governed by PDEs. These chapters describe not only these inverse problems, but also main inversion methods and techniques. Since the most distinctive features of any inverse problems related to PDEs are hidden in the properties of the corresponding solutions to direct problems, special attention is paid to the investigation of these properties.