Introduction to Global Variational Geometry

این کتاب به تحقیقات اخیر در نظریه تغییرات جهانی در منیفولدهای صاف اختصاص دارد. هدف اصلی آن بسط حساب متغیر کلاسیک در فضاهای اقلیدسی به منیفولدهای صاف محدود بعدی است. برای این منظور از روش های تحلیل سراسری اشکال دیفرانسیل استفاده می شود. تأکید بر پایه‌های نظریه تابع‌های متغیر در منیفولدهای فیبردار - ساختارهای هندسی مرتبط برای اصول تغییرات در هندسه، نظریه میدان فیزیکی و مکانیک الیافی مرتبه بالاتر است. فصول کتاب شامل: - مبانی بسته‌های جت و تحلیل فرم‌های دیفرانسیل و میدان‌های برداری روی دسته‌های جت، - تئوری تابع‌های متغیر انتگرالی مرتبه بالاتر برای بخش‌هایی از فضای فیبری، اولین فرمول تغییرات (جهانی) در بینهای کوچک و انتگرال اشکال- شرایط اکسترمال و بحث تقارن ها و تعمیم های نوتر- مسائل معکوس حساب تغییرات نوع هلمهولتز- نظریه توالی تغییرات و پیامدهای آن برای مسئله معکوس جهانی (شرایط همولوژی)- نمونه هایی از تابع های متغیر فیزیک ریاضی. فرمول‌بندی‌ها و اثبات‌های کامل همه ادعاهای اساسی، بر اساس قضایای تحلیل کلی که در پیوست توضیح داده شده‌اند، ارائه شده‌اند.

The book is devoted to recent research in the global variational theory on smooth manifolds. Its main objective is an extension of the classical variational calculus on Euclidean spaces to (topologically nontrivial) finite-dimensional smooth manifolds; to this purpose the methods of global analysis of differential forms are used. Emphasis is placed on the foundations of the theory of variational functionals on fibered manifolds - relevant geometric structures for variational principles in geometry, physical field theory and higher-order fibered mechanics. The book chapters include: - foundations of jet bundles and analysis of differential forms and vector fields on jet bundles, - the theory of higher-order integral variational functionals for sections of a fibred space, the (global) first variational formula in infinitesimal and integral forms- extremal conditions and the discussion of Noether symmetries and generalizations,- the inverse problems of the calculus of variations of Helmholtz type- variational sequence theory and its consequences for the global inverse problem (cohomology conditions)- examples of variational functionals of mathematical physics. Complete formulations and proofs of all basic assertions are given, based on theorems of global analysis explained in the Appendix.