Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles

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Avant-Propos......Page 7
1.1. Rappels sur les distributions......Page 9
1.2. L\'espace de Sobolev H¹(Ω)......Page 12
1.3. Un théorème de trace......Page 17
1.4. Applications du théorème de trace......Page 23
1.5. Un résultat de compacité......Page 26
1.6. Les espaces de Sobolev H^m(Ω)......Page 29
2.1. Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques......Page 32
2.2. Problèmes variationnels abstraits......Page 34
2.3. Problèmes aux limites elliptiques d\'ordre 2......Page 38
2.4. Système de l\'élasticité......Page 47
2.5. Système de Stokes......Page 52
3.1. Théorie abstraite de l\'approximation variationnelle......Page 56
3.2. Application aux problèmes aux limites en dimension n=l......Page 62
3.3. Applications à un problème aux limites en dimension n=2......Page 70
4.1. Éléments finis de Lagrange......Page 77
4.2. Éléments finis simpliciaux......Page 80
4.3. Éléments finis parallélotopes......Page 87
4.4. Résultats généraux d\'approximation dans les espaces de Sobolev......Page 94
5.1. Cas d\'un ouvert Ω polyédrique......Page 102
5.2. Cas d\'un ouvert Ω non polyédrique......Page 111
5.3. Méthode des éléments finis avec intégration numérique......Page 121
6.1. Introduction aux problèmes spectraux......Page 131
6.2. Théorie spectrale abstraite......Page 133
6.3. Application aux problèmes aux limites elliptiques......Page 138
6.4. Approximation variationnelle des problèmes spectraux......Page 142
6.5. Application aux problèmes elliptiques du second ordre......Page 149
7.1. Équation de la chaleur......Page 152
7.2. Problèmes paraboliques abstraits......Page 153
7.3. Exemples de problèmes paraboliques......Page 159
7.4. Méthode de semi-discrétisation......Page 164
7.5. Discrétisation totale des problèmes paraboliques......Page 167
7.6. Application aux problèmes paraboliques d\'ordre 2 en x......Page 177
8.1. Équation des ondes......Page 183
8.2. Problèmes d\'ordre 2 en t généraux......Page 184
8.3. Exemples de problèmes d\'ordre 2 en t......Page 189
8.4. Méthode de semi-discrétisation......Page 193
8.5. Discrétisation totale des problèmes d\'ordre 2 en t : lère partie......Page 195
8.6. Discrétisation totale des problèmes d\'ordre 2 en t : 2e partie......Page 203
8.7 Application aux problèmes hyperboliques du second ordre......Page 211
Références bibliographiques......Page 215
Principales notations utilisées......Page 216
Index......Page 218