Introduction à l'analyse non linéaire sur les variétés

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Introduction......Page 0001_0001_1.djvu
Sommaire......Page 0003_0001.djvu
1 Eléments de géométrie différentielle......Page 0007_0001.djvu
1.1.1 Variétés topologiques......Page 0008_0001.djvu
1.1.2 Variétés différentiables......Page 0009_0001.djvu
1.1.3 Des exemples......Page 0010_0001.djvu
1.2.1 Premières définitions......Page 0012_0001.djvu
1.2.2 Immersions - Submersions - Plongements......Page 0015_0001.djvu
1.2.3 Partitions de l'unité......Page 0016_0001.djvu
1.3 Sous variétés......Page 0018_0001.djvu
1.4 Existence et unicité des structures lisses......Page 0020_0001.djvu
1.5.1 Définition et premières propriétés......Page 0022_0001.djvu
1.5.2 Le fibré tangent......Page 0024_0001.djvu
1.5.3 L'application linéaire tangente......Page 0026_0001.djvu
1.5.4 Retour rapide aux sous variétés et produit de variétés......Page 0028_0001.djvu
1.5.5 Champs de vecteurs et crochet......Page 0029_0001.djvu
1.6 Le fibré cotangent......Page 0030_0001.djvu
1.7 L'algèbre des formes extérieures......Page 0032_0001.djvu
1.8.1 Eléments de calcul tensoriel......Page 0035_0001.djvu
1.8.2 Le fibré vectoriel ( M)......Page 0037_0001.djvu
1.9.1 Premières définitions......Page 0039_0001.djvu
1.9.2 Torsion et courbure......Page 0041_0001.djvu
1.9.3 Extension aux champs de tenseurs......Page 0044_0001.djvu
1.9.4 Les identités de Bianchi......Page 0045_0001.djvu
1.10 Les variétés fibrées vectorielles......Page 0047_0001.djvu
1.11.1 Variétés orientables......Page 0048_0001.djvu
1.11.2 Intégration des n-formes......Page 0051_0001.djvu
1.11.3 Variétés à bord et formule de Stokes......Page 0052_0001.djvu
2 Variétés Riemanniennes et géodésiques......Page 0055_0001.djvu
2.1.1 Définition et premières propriétés......Page 0056_0001.djvu
2.1.2 La connexion de Levi-Civita......Page 0060_0001.djvu
2.1.3 Courbure de Riemann, courbure de Ricci, et courbure scalaire......Page 0063_0001.djvu
2.1.4 La courbure sectionnelle......Page 0065_0001.djvu
2.1.5 Produit de variétés Riemanniennes......Page 0067_0001.djvu
2.2 Cartes normales......Page 0068_0001.djvu
2.3.1 Définition des géodésiques......Page 0071_0001.djvu
2.3.2 L'application exponentielle......Page 0073_0001.djvu
2.3.3 Lemme de Gauss et coordonnées Riemanniennes polaires......Page 0075_0001.djvu
2.3.4 Voisinages convexes......Page 0079_0001.djvu
2.3.5 Le théorème de Hopf-Rinow......Page 0084_0001.djvu
2.3.6 Champs de Jacobi......Page 0086_0001.djvu
2.3.7 Energie d'un chemin et géodésiques......Page 0091_0001.djvu
2.3.8 Variations de l'énergie et de la longueur d'un arc......Page 0092_0001.djvu
2.3.9 Cut-locus et rayon d'injectivité......Page 0094_0001.djvu
2.4 Application exponentielle et courbure......Page 0101_0001.djvu
3 Courbure et topologie......Page 0102_0001.djvu
3.1 Le théorème de Myers......Page 0103_0001.djvu
3.2.1 Le théorème de Myers-Steenrod......Page 0105_0001.djvu
3.2.2 Isométries, courbures, et géodésiques......Page 0110_0001.djvu
3.2.3 Le théorème de Nash......Page 0113_0001.djvu
3.2.4 Le groupe Isom (M)......Page 0114_0001.djvu
3.3 Revêtements et revêtements Riemanniens......Page 0115_0001.djvu
3.4 Le théorème de Cartan-Hadamard......Page 0120_0001.djvu
3.5 Le théorème de Cheeger-Gromoll......Page 0123_0001.djvu
3.6.1 Décomposition orthogonale dans l'espace des courbures......Page 0124_0001.djvu
3.6.2 Variétés d'Einstein......Page 0127_0001.djvu
3.6.3 Variétés conformément plates......Page 0130_0001.djvu
3.6.4 Variétés à courbure sectionnelle constante......Page 0136_0001.djvu
3.6.5 Des exemples......Page 0138_0001.djvu
3.6.6 Sur le revêtement universel des variétés à courbure sectionnelle constante......Page 0140_0001.djvu
3.7 Le théorème de Bieberbach......Page 0144_0001.djvu
3.8 Produit de deux variétés conformément plates......Page 0145_0001.djvu
3.9.1 Estimées sur le rayon d'injectivité......Page 0150_0001.djvu
3.9.2 Le théorème de la sphère 1/4-pincée......Page 0151_0001.djvu
4 Intégrale Riemannienne et théorème de Gauss-Bonnet......Page 0153_0001.djvu
4.1.1 Définitiqn et premiers résultats......Page 0154_0001.djvu
4.1.2 Retour au cut-locus......Page 0158_0001.djvu
4.1.3 Intégrale Riemannienne et variétés orientées......Page 0159_0001.djvu
4.2 Co-différentielle, laplacien, et opérateur adjoint......Page 0161_0001.djvu
4.3 Intégration par parties......Page 0164_0001.djvu
4.4.1 Théorie de de Rham......Page 0168_0001.djvu
4.4.2 Caractéristique d'Euler-Poincaré et théorème de Gauss-Bonnet......Page 0172_0001.djvu
4.4.3 Une application simple......Page 0174_0001.djvu
4.5 La méthode de Bochner......Page 0175_0001.djvu
4.6 Variétés compactes conformément plates de dimension 4......Page 0180_0001.djvu
4.7 Etude de la courbure de Ricci dans une classe conforme......Page 0183_0001.djvu
5 Eléments d'analyse sur les variétés......Page 0185_0001.djvu
5.1.1 Quelques rappels......Page 0188_0001.djvu
5.1.2 Définition et premières propriétés......Page 0191_0001.djvu
5.1.3 Problèmes de densité......Page 0197_0001.djvu
5.2 Théorème de Sobolev - Première partie......Page 0200_0001.djvu
5.2.1 Le cas de l'espace euclidien......Page 0202_0001.djvu
5.2.2 Le cas des variétés......Page 0203_0001.djvu
5.3 Meilleures constantes dans les inégalités de Sobolev......Page 0207_0001.djvu
5.3.1 Le cas de l'espace euclidien......Page 0208_0001.djvu
5.3.2 Le cas des variétés......Page 0209_0001.djvu
5.4 Théorème de Sobolev - Seconde partie......Page 0216_0001.djvu
5.5 Inclusions compactes et théorème de Rellich-Kondrakov......Page 0218_0001.djvu
5.6 Une remarque sur les variétés compactes à bord......Page 0222_0001.djvu
5.7.1 Principe du maximum......Page 0224_0001.djvu
5.7.2 Solutions faibles et régularité......Page 0225_0001.djvu
5.7.3 Le théorème des multiplicateurs de Lagrange......Page 0228_0001.djvu
5.8 Valeurs propres du laplacien sur une variété compacte......Page 0230_0001.djvu
5.9 Résolution de delta (U) = f sur une variété compacte......Page 0234_0001.djvu
5.10 Fonction de Green du laplacien sur une ariété compacte......Page 0237_0001.djvu
5.11 Inégalités de Poincaré et Sobolev-Poincaré......Page 0238_0001.djvu
6 Le problème de Yamabe ......Page 0240_0001.djvu
6.1 Laplacien conforme et courbure scalaire......Page 0241_0001.djvu
6.2 Le problème de Yamabe......Page 0244_0001.djvu
6.2.1 L'approche variationnelle......Page 0246_0001.djvu
6.2.2 L'invariant de Yamabe étudié plus en détail......Page 0268_0001.djvu
6.2.3 Le théorème de la masse positive......Page 0274_0001.djvu
6.2.4 Résolution du problème......Page 0281_0001.djvu
6.3 Groupe d'isométries et groupe conforme......Page 0287_0001.djvu
6.4.1 Unicité et multiplicité pour le problème de Yamabe......Page 0290_0001.djvu
6.4.2 Equivariance et conjecture de Lichnerowicz......Page 0295_0001.djvu
7 Prescrire la courbure scalaire dans une classe conforme......Page 0297_0001.djvu
7.1 Une introduction......Page 0298_0001.djvu
7.2 La méthode variationnelle......Page 0303_0001.djvu
7.3 Concentration et invariance par symétries......Page 0313_0001.djvu
7·4 Sur et sous solutions......Page 0336_0001.djvu
8 Le flot associé à la courbure de Ricci......Page 0344_0001.djvu
8.1 Principes du maximum pour l'équation de la chaleur......Page 0345_0001.djvu
8.2 Les équations d'évolution d'Hamilton......Page 0349_0001.djvu
8.2.1 Existence en temps petit......Page 0350_0001.djvu
8.2.2 Evolution des courbures......Page 0351_0001.djvu
8.2.3 Convergence en grands temps......Page 0354_0001.djvu
8.3 Variétés de dimensions 3 et 4......Page 0381_0001.djvu
8.4 Pincement de la courbure concirculaire......Page 0384_0001.djvu
Références bibliographiques......Page 0388_0001.djvu
Index......Page 0401_0001.djvu