Intermediate Dynamics: A Linear Algebraic Approach

همانطور که از نام آن پیداست، دینامیک میانی: رویکرد جبری خطی، "دینامیک متوسط"--دینامیک بدنه صلب سه بعدی نیوتنی و مکانیک تحلیلی-- را از منظر میدان ریاضی مشاهده می کند. این به ویژه در مورد اول مفید است: ماتریس اینرسی را می توان از طریق ترجمه ساده (از طریق قضیه محور موازی) و چرخش محورها با استفاده از ماتریس های چرخشی تعیین کرد. سپس ماتریس اینرسی را می توان برای اجسام ساده از گشتاورهای اینرسی جدول بندی شده در محورهای اصلی تعیین کرد. حتی برای اجسامی که گشتاورهای اینرسی آنها را فقط می توان به صورت عددی یافت، این روش به تانسور اینرسی اجازه می دهد تا در محورهای دلخواه بیان شود - چیزی که به ویژه در تجزیه و تحلیل ماشین ها مهم است، جایی که محورهای اصلی اجسام مختلف عملاً هرگز موازی نیستند. برای درک این محورهای اصلی (که در آن تانسور اینرسی متقارن واقعی یک \"شکل نرمال\" مورب به خود می گیرد)، تقریباً تمام جبر خطی وارد بازی می شود. بنابراین، زمینه ریاضی ابتدا به روشی دقیق، اما قابل تجسم آسان بررسی می شود. سپس دینامیک بدنه صلب سه بعدی به یک کاربرد صرف از ریاضیات تبدیل می شود. در نهایت مکانیک تحلیلی - هر دو فرمول لاگرانژی و همیلتونی - توسعه می‌یابد که در آن جبر خطی در استقلال خطی دیفرانسیل‌های مختصات و همچنین در تعیین لحظه‌های مزدوج مرکزی می‌شود.

ویژگی‌ها عبارتند از: P>

o یک رویکرد کلی و یکنواخت قابل اجرا برای \"ماشین ها\" و همچنین بدنه های صلب منفرد.

o اثبات کامل همه مواد ریاضی. به طور مشابه، بیش از 100 مثال دقیق وجود دارد که نه تنها نتایج، بلکه همه محاسبات میانی را ارائه می دهد.

o تاکید بر انتگرال های حرکت در دینامیک نیوتنی.

o توسعه مکانیک تحلیلی مبتنی بر کار مجازی به جای حساب متغیر است که هم ارائه را از نظر مفهومی مقرون به صرفه‌تر می‌کند و هم اصول حاصل را می‌تواند سیستم‌های محافظه‌کار و غیر محافظه‌کار را درمان کند.

As the name implies, Intermediate Dynamics: A Linear Algebraic Approach views "intermediate dynamics"--Newtonian 3-D rigid body dynamics and analytical mechanics--from the perspective of the mathematical field. This is particularly useful in the former: the inertia matrix can be determined through simple translation (via the Parallel Axis Theorem) and rotation of axes using rotation matrices. The inertia matrix can then be determined for simple bodies from tabulated moments of inertia in the principal axes; even for bodies whose moments of inertia can be found only numerically, this procedure allows the inertia tensor to be expressed in arbitrary axes--something particularly important in the analysis of machines, where different bodies' principal axes are virtually never parallel. To understand these principal axes (in which the real, symmetric inertia tensor assumes a diagonalized "normal form"), virtually all of Linear Algebra comes into play. Thus the mathematical field is first reviewed in a rigorous, but easy-to-visualize manner. 3-D rigid body dynamics then become a mere application of the mathematics. Finally analytical mechanics--both Lagrangian and Hamiltonian formulations--is developed, where linear algebra becomes central in linear independence of the coordinate differentials, as well as in determination of the conjugate momenta.

Features include:

o A general, uniform approach applicable to "machines" as well as single rigid bodies.

o Complete proofs of all mathematical material. Similarly, there are over 100 detailed examples giving not only the results, but all intermediate calculations.

o An emphasis on integrals of the motion in the Newtonian dynamics.

o Development of the Analytical Mechanics based on Virtual Work rather than Variational Calculus, both making the presentation more economical conceptually, and the resulting principles able to treat both conservative and non-conservative systems.