Integration und Maß

این کتاب به عنوان مقدمه ای بر تئوری ادغام و اندازه گیری در نظر گرفته شده است. امیدوارم استفاده از آن در کنار سخنرانی ها یا خودآموزی، ترجیحاً با کاغذ و مداد، برای دانش آموزان و همچنین برای ریاضیدانان پیشرفته تر برای مرجع مفید باشد. سخنرانی های پایه ریاضی الزامی است. حقایق تحلیلی توپولوژیکی یا عملکردی که گاهی استفاده می شود در ضمیمه خلاصه شده است. ترتیبی در 3.28 استفاده می شود زیرا من هیچ مدرک دیگری برای نتایج در آنجا نمی دانم. نقطه شروع ملاحظات تئوری یکپارچه سازی است که به طور مکرر به عنوان کمکی در تئوری اندازه گیری استفاده می شود که هدف آن بهبود شفافیت و سادگی ارائه است. تئوری یکپارچه سازی به گونه ای طراحی شده است که بسیاری از چیزها حتی بدون فرض ویژگی های تداعی معتبر باقی می مانند، بنابراین این نظریه را می توان در مورد مثال هایی نیز اعمال کرد که نمی توان با نظریه ادغام که به روش معمول فرموله شده است پوشش داد. هر فصل با یک بخش \"تمرین ها، مثال ها، اضافات\" بسته می شود که باید به عنوان بخشی جدایی ناپذیر از کل در نظر گرفته شود. گاهی اوقات برای من مصلحت به نظر می رسد که توسعه طبیعی را بر ساخت و ساز سیستماتیک ترجیح دهم، مثلاً. به عنوان مثال، با تعریف نکردن یک اصطلاح تا زمانی که لازم باشد، یا با ایجاد یک تعریف با یک مثال عینی. در یک سخنرانی می توان در این جهت بسیار فراتر رفت، به عنوان مثال. ب. با اجرای نظریه انتگرال با استفاده از مثال انتگرال ابتدایی در توابع مرحله 1، یعنی ساختن Lebesgue L و انتگرال Lebesgue و سپس تعیین اینکه مثال در نظر گرفته شده از قبل حاوی حالت کلی است، زیرا کل ساختار شامل براهین استفاده شده است. همچنین در حالت کلی معتبر است.

Dieses Buch soll in die Integrations- und Maßtheorie einführen. Wie ich hoffe, eignet es sich für Studenten zum Gebrauch neben der Vorlesung oder zum Eigenstudium, am besten mit Papier und Bleistift, aber auch für fortgeschrittenere Mathematiker zum Nachschlagen. Vorausgesetzt werden die mathematischen Grundvorlesungen. Gelegentlich benutzte topologische oder funktionalanalytische Tatsachen sind im Anhang zusammen­ gestellt. In 3.28 werden Ordinalzahlen benutzt, da ich keinen anderen Beweis der dortigen Resultate kenne. Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die Integrationstheorie, die auch innerhalb der Maßtheorie immer wieder als Hilfsmittel benutzt wird, was der größeren Durchsichtigkeit und Einfachheit der Darstellung dienen soll. Die Integrationstheorie ist so angelegt, daß vieles auch ohne die Voraussetzung der Verbandseigenschaft gültig bleibt, die Theorie also auch auf Beispiele anwendbar ist, die mit der üblich fOlmulierten Integrationstheorie nicht erfaßt werden können. Jedes Kapitel schließt mit einem Abschnitt "Übungen, Beispiele, Ergänzungen", der als integraler Bestandteil des Ganzen zu sehen ist. Es schien mir manchmal zweckmäßig, der natürlichen Entwicklung gegenüber dem systematischen Autbau den Vorzug zu geben, z. B. indem ein Begriff erst definiert wird, wenn er gebraucht wird, oder indem ein konkretes Beispiel Anlaß zu einer Definition gibt. In einer Vorlesung kann man in dieser Richtung wesentlich weiter gehen, z. B. indem man die Integrationstheorie am Beispiel des elementaren Integrals auf den Treppenfunktionen 1 durchführt, also Lebesgue-L und das Lebesgue-Integral konstruielt und danach feststellt, daß das betrachtete Beispiel schon den allgemeinen Fall enthält, da die gesamte Konstruktion einschließlich der benutzten Beweise auch im allgemeinen Fall gültig bleibt.