Intégrale de chemin en mécanique quantique : Introduction

Table des matières......Page 7
Introduction......Page 13
Bibliographie......Page 19
1 Quelques préliminaires mathématiques......Page 23
1.2 Valeurs moyennes gaussiennes. Théorème de Wick......Page 24
1.2.1 Matrices réelles......Page 25
1.2.2 Intégrale gaussienne générale......Page 26
1.2.3 Valeurs moyennes gaussiennes et théorème de Wick......Page 27
1.3.1 Mesure gaussienne perturbée......Page 29
1.3.2 Diagrammes de Feynman. Contributions connexes......Page 30
1.4 Valeurs moyennes. Fonction génératrice. Cumulants......Page 31
1.4.1 La fonction à deux points......Page 32
1.4.2 Fonctions génératrices. Cumulants......Page 33
1.5.1 Intégrale réelle......Page 34
1.5.2 Intégrale de contour complexe......Page 37
1.6 Méthode du col à plusieurs variables. Application aux fonctions génératrices......Page 39
1.6.1 Fonction génératrice et méthode du col......Page 40
1.7.1 Fonctionnelle génératrice. Dérivée fonctionnelle......Page 41
1.7.2 Déterminants d\'opérateurs......Page 42
1.8 Intégrale gaussienne : matrices complexes......Page 44
Exercices......Page 47
2 L\'intégrate de chemin......Page 53
2.1.1 Évolution markovienne......Page 54
2.1.2 Élements de matrice et localité......Page 55
2.1.3 Exemple : évolution libre ou mouvement brownien......Page 56
2.2 Solution de l\'équation d\'évolution aux temps courts......Page 58
2.3 Intégrale de chemin......Page 61
2.4.1 Le mouvement libre......Page 63
2.4.2 L\'oscillateur harmonique......Page 65
2.5 Fonction de partition. Fonctions de corrélation......Page 66
2.6.1 Intégrale de chemin gaussienne générale......Page 68
2.6.2 Fonctions de corrélation gaussiennes, théorème de Wick......Page 70
2.7 Oscillateur harmonique : la fonction de partition......Page 72
2.7.1 Calcul direct de la fonction de partition gaussienne......Page 73
2.7.2 Calcul avec temps continu......Page 75
2.8 Oscillateur harmonique perturbé......Page 76
2.9 Développement perturbatif en puissances de h......Page 78
2.10 Développement semi-classique......Page 79
2.11 Intégrale de chemin et principe variationnel......Page 83
Exercices......Page 86
3.1 Calcul perturbatif......Page 89
3.2 Développement semi-classique ou BKW......Page 92
3.2.1 Spectre et pôles de la résolvante......Page 93
3.2.2 Approximation semi-classique......Page 94
3.2.3 Exemples......Page 96
3.2.4 Approximation BKW et équation de Schrödinger......Page 97
3.3 Le potentiel quartique avec symétrie O(N) pour N → ∞......Page 99
3.3.1 Une intégrale ordinaire pour N → ∞......Page 100
3.3.2 Intégrale de chemin......Page 102
3.3.3 Énergie du fondamental......Page 105
3.4 Hamiltonien : unicité du fondamental......Page 107
Exercices......Page 108
4 Mécaniques statistiques quantique et classique......Page 111
4.1 Fonction de partition classique. Matrice de transfert......Page 112
4.2.1 Fonctions de corrélation et matrice de transfert......Page 114
4.2.2 Limite thermodynamique et comportement à grande distance......Page 115
4.3 Modèle classique à basse température : un exemple......Page 116
4.4.1 Limite continue......Page 118
4.4.2 Fonctions de corrélation et limite continue......Page 120
4.5 La fonction à deux points : calcul perturbatif, représentation spectrale......Page 122
4.5.1 Calcul perturbatif......Page 123
4.5.2 Représentation spectrale......Page 124
4.6 Formalisme d\'opérateurs. Produits chronologiques......Page 126
Exercices......Page 127
5.1 Transformations de jauge......Page 133
5.2.1 Invariance de jauge classique......Page 135
5.2.3 Invariance de jauge et intégrale de chemin......Page 137
5.3 Quantification et intégrale de chemin......Page 138
5.3.1 Temps discrets et limite continue......Page 139
5.3.2 Ambiguïté et calcul perturbatif......Page 140
5.4 Champ magnétique : calcul direct......Page 142
5.5 Diffusion, marche au hasard, équation de Fokker-Planck......Page 144
5.5.1 Un exemple simple : marche au hasard ou mouvement brownien......Page 145
5.5.2 Équation de diffusion générale......Page 146
5.6 Le spectre du rotateur rigide avec symétrie O(2)......Page 148
5.6.1 Intégrale de chemin......Page 149
5.6.2 Spectre de l\'hamiltonien......Page 150
5.6.3 Autre paramétrisation......Page 152
Exercices......Page 153
6 Intégrale de chemin......Page 157
6.1 Intégrales complexes et théorème de Wick......Page 158
6.1.1 Intégrales gaussiennes......Page 159
6.1.2 Intégrale gaussienne générale......Page 160
6.2.1 Espace de Hilbert des fonctions analytiques......Page 161
6.2.2 Oscillateur harmonique et représentation holomorphe......Page 162
6.3 Noyaux d\'opérateurs......Page 164
6.4 Intégrale de chemin : l\'oscillateur harmonique......Page 167
6.4.1 Intégrale gaussienne générale......Page 168
6.4.2 Fonctions de corrélation gaussiennes......Page 169
6.4.3 Fonction de partition......Page 170
6.5.1 Intégrale de chemin......Page 171
6.5.2 Discussion......Page 173
6.5.3 Oscillateur harmonique : perturbation réelle......Page 174
6.6.1 États de bosons et hamiltonien......Page 175
6.6.2 Vecteurs d\'état : fonction génératrice et hamiltonien......Page 176
6.7 Fonction de partition......Page 178
6.8 Condensation de Bose-Einstein......Page 179
6.8.1 Potentiel harmonique......Page 180
6.8.2 Particules libres dans une boîte......Page 181
6.9 Intégrale de chemin généralisée : gaz de Bose quantique......Page 182
6.9.1 Hamiltonien dans l\'espace de Fock......Page 183
6.9.2 Intégrale fonctionnelle......Page 184
Exercices......Page 185
7.1 Algèbres de Grassmann......Page 195
7.2 Dérivations dans les algèbres de Grassmann......Page 197
7.3 Intégration dans les algèbres de Grassmann......Page 198
7.4 Changement de variables mixte : Bérézinien et supertrace......Page 200
7.5.1 Intégrales gaussiennes......Page 202
7.5.2 Intégrales gaussiennes générales......Page 204
7.5.3 Valeurs moyennes gaussiennes, théorème de Wick et perturbations......Page 205
7.6 Intégrales gaussiennes réelles. Théorème de Wick......Page 206
7.7 Espace de Hilbert de fermions et opérateurs......Page 208
7.7.1 Fonctions grassmanniennes analytiques et produit scalaire......Page 209
7.7.2 Noyaux d\'opérateurs......Page 210
7.8 Hamiltonien à un fermion......Page 212
7.9.1 Intégrales de chemin gaussiennes......Page 214
7.9.2 La fonction de partition......Page 216
7.9.3 Généralisation......Page 217
7.10.1 États de fermions. Hamiltoniens......Page 219
7.10.2 Fonction génératrice des vecteurs d\'états......Page 220
7.10.3 Fonction de partition : intégrale de chemin......Page 222
7.11 Gaz de Fermi quantique......Page 223
Exercices......Page 224
8 Effet tunnel : approximation semi-classique......Page 231
8.1.1 Le double puits quartique......Page 232
8.1.2 Instantons......Page 234
8.2 Minima dégénérés : approximation semi-classique......Page 235
8.2.2 Intégration gaussienne et mode zéro......Page 236
8.3.1 Modes zéro dans des intégrales simples......Page 238
8.3.2 Coordonnées collectives et intégrale de chemin......Page 239
8.3.3 Intégration gaussienne......Page 241
8.3.4 Application au double puits......Page 242
8.4 Instantons et états métastables......Page 244
8.4.1 Une intégrale simple......Page 245
8.4.2 Intégrale de chemin et méthode du col : instantons......Page 247
8.5 Coordonnées collectives : autre méthode......Page 250
8.6 Le jacobien......Page 251
8.7 Instantons : l\'oscillateur anharmonique quartique......Page 253
8.7.1 L\'intégrale simple quartique......Page 254
8.7.2 Intégrale de chemin......Page 255
8.7.3 Instantons......Page 256
Exercices......Page 258
9 Évolution quantique et matrice de diffusion......Page 263
9.1.1 L\'évolution de la particule libre......Page 264
9.1.2 Particule dans un potentiel et matrice S......Page 265
9.2.1 Développement perturbatif......Page 267
9.2.2 Calcul explicite......Page 269
9.2.3 Autre méthode......Page 271
9.3 Matrice S et formalisme holomorphe......Page 273
9.4 Matrice S dans la limite semi-classique......Page 274
9.5.1 Diffusion vers l\'avant......Page 275
9.5.2 Diffusion vers l\'arrière......Page 276
9.5.3 La région interdite......Page 277
9.6.1 Approximation eïkonale......Page 278
9.6.2 Application au potentiel de Coulomb......Page 280
9.7 Théorie des perturbations et opérateurs......Page 281
Exercices......Page 282
10.1 Quelques rappels de mécanique analytique classique......Page 285
10.1.1 Symétries. Lois de conservation......Page 286
10.1.2 Invariance par translation dans le temps. Formalisme hamiltonien......Page 287
10.1.3 Transformations canoniques......Page 289
10.2 Intégrale de chemin dans l\'espace de phase......Page 290
10.2.1 Intégrale de chemin......Page 291
10.2.2 Discussion......Page 293
10.2.3 Évolution quantique......Page 294
10.3.1 Vérifications......Page 295
10.3.2 Lagrangien quadratique général......Page 296
10.4.1 Hamiltonien......Page 299
10.4.2 Le spectre du rotateur rigide : intégrale de chemin......Page 301
Exercice......Page 304
A.1 Espace de Hilbert et opérateurs......Page 307
A.2 Évolution quantique, symétries et matrice densité......Page 309
A.3 Position et impulsion. Équation de Schrödinger......Page 312
E......Page 315
I......Page 316
S......Page 317
W......Page 318