Integral Geometry and Valuations

در سالهای گذشته پیشرفت چشمگیری در تئوری ارزش گذاری ها صورت گرفته است که به نوبه خود منجر به دستاوردهای مهمی در هندسه انتگرال شده است. این کتاب از دو دوره ارائه شده توسط نویسندگان در CRM سرچشمه گرفته است و مقدمه ای مستقل برای این موضوعات ارائه می دهد که بیشتر پیشرفت های اخیر را پوشش می دهد. بخش اول، توسط سمیون آلسکر، مقدمه ای بر نظریه ارزش گذاری های محدب با تاکید بر تحولات اخیر ارائه می دهد. به طور خاص، ساختارهای جدیدی را در فضای ارزش گذاری های کشف شده پس از قضیه تقلیل ناپذیری آلسکر ارائه می دهد. نظریه جدید توسعه یافته ارزش گذاری در منیفولدها نیز توضیح داده شده است. در بخش دوم، جوزف اچ. رویکرد جدید و مبتنی بر مفاهیم و ابزار ارائه شده در بخش اول است. این دیدگاه اصلی نه تنها هندسه انتگرال کلاسیک فضای اقلیدسی را روشن می کند، بلکه امکان محاسبه فرمول های سینماتیکی در هندسه های دیگر، مانند فضاهای هرمیتی را نیز فراهم می کند. این کتاب برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققان علاقه مند در زمینه های مرتبط از جمله هندسه محدب، تصادفی و دیفرانسیل جذاب خواهد بود.

In the last years there has been significant progress in the theory of valuations, which in turn has led to important achievements in integral geometry. This book originated from two courses delivered by the authors at the CRM and provides a self-contained introduction to these topics, covering most of the recent advances. The first part, by Semyon Alesker, provides an introduction to the theory of convex valuations with emphasis on recent developments. In particular, it presents the new structures on the space of valuations discovered after Alesker's irreducibility theorem. The newly developed theory of valuations on manifolds is also described. In the second part, Joseph H. G. Fu gives a modern introduction to integral geometry in the sense of Blaschke and Santaló. The approach is new and based on the notions and tools presented in the first part. This original viewpoint not only enlightens the classical integral geometry of euclidean space, but it also allows the computation of kinematic formulas in other geometries, such as hermitian spaces. The book will appeal to graduate students and interested researchers from related fields including convex, stochastic, and differential geometry. ​