Inside Interesting Integrals

Preface to the New Edition......Page 8
Preface to the Original Edition......Page 27
List of Author´s Previous Books......Page 37
Contents......Page 38
About the Author......Page 41
1.1 The Riemann Integral......Page 42
1.2 An Example of Riemann Integration......Page 46
1.3 The Lebesgue Integral......Page 48
1.4 `Interesting´ and `Inside´......Page 52
1.5 Some Examples of Tricks......Page 53
1.6 Singularities......Page 59
1.7 Dalzell´s Integral......Page 64
1.8 Where Integrals Come From......Page 66
1.9 Last Words......Page 93
1.10 Challenge Problems......Page 96
2.1 Six `Easy´ Warm-Ups......Page 100
2.2 A New Trick......Page 105
2.3 Two Old Tricks, Plus a New One......Page 111
2.4 Another Old Trick: Euler´s Log-Sine Integral......Page 120
2.5 Trier´s Double Integral......Page 126
2.6 A Final Example of a `Hard´ Integral Made `Easy´......Page 135
2.7 Challenge Problems......Page 138
3.1 Leibniz´s Formula......Page 141
3.2 An Amazing Integral......Page 150
3.3 Frullani´s Integral......Page 152
3.4 The Flip-Side of Feynman´s Trick......Page 155
3.5 Combining Two Tricks and Hardy´s Integral......Page 164
3.6 Uhler´s Integral and Symbolic Integration......Page 171
3.7 The Probability Integral Revisited......Page 174
3.8 Dini´s Integral......Page 180
3.9 Feynman´s Favorite Trick Solves a Physics Equation......Page 182
3.10 Challenge Problems......Page 184
4.1 Euler´s Gamma Function......Page 189
4.2 Wallis´ Integral and the Beta Function......Page 191
4.3 Double Integration Reversal......Page 202
4.4 The Gamma Function Meets Physics......Page 212
4.5 Gauss `Meets´ Euler......Page 216
4.6 Challenge Problems......Page 219
5.1 Catalan´s Constant......Page 221
5.2 Power Series for the Log Function......Page 225
5.3 Zeta Function Integrals......Page 233
5.4 Euler´s Constant and Related Integrals......Page 244
5.5 Generalizing Catalan´s Constant......Page 258
5.6 Challenge Problems......Page 262
6.1 Bernoulli´s Integral......Page 267
6.2 Ahmed´s Integral......Page 270
6.3 Coxeter´s Integral......Page 274
6.4 The Hardy-Schuster Optical Integral......Page 281
6.5 The Watson/van Peype Triple Integrals......Page 285
6.6 Elliptic Integrals in a Physical Problem......Page 292
6.7 Ramanujan´s Master Theorem......Page 298
6.8 Challenge Problems......Page 309
7.1 Euler´s Formula......Page 315
7.2 The Fresnel Integrals......Page 317
7.3 zeta(3) and More Log-Sine Integrals......Page 320
7.4 zeta(2), at Last (Three Times!)......Page 328
7.5 The Probability Integral Again......Page 338
7.6 Beyond Dirichlet´s Integral......Page 342
7.7 Dirichlet Meets the Gamma Function......Page 349
7.8 Fourier Transforms and Energy Integrals......Page 352
7.9 `Weird´ Integrals from Radio Engineering......Page 357
7.10 Causality and Hilbert Transform Integrals......Page 366
7.11 Laplace Transform Integrals......Page 374
7.12 Challenge Problems......Page 385
8.1 Prelude......Page 391
8.2 Line Integrals......Page 392
8.3 Functions of a Complex Variable......Page 395
8.4 The Cauchy-Riemann Equations and Analytic Functions......Page 401
8.5 Green´s Integral Theorem......Page 404
8.6 Cauchy´s First Integral Theorem......Page 408
8.7 Cauchy´s Second Integral Theorem......Page 421
8.8 Singularities and the Residue Theorem......Page 439
8.9 Integrals with Multi-Valued Integrands......Page 447
8.10 A Final Calculation......Page 455
8.11 Challenge Problems......Page 459
9.1 Riemann, Prime Numbers, and the Zeta Function......Page 463
9.2 Deriving the Functional Equation for zeta(s)......Page 472
9.3 Our Final Calculation......Page 482
9.4 Adieu......Page 485
9.5 Challenge Questions......Page 487
Chapter 1......Page 489
Chapter 2......Page 496
Chapter 3......Page 500
Chapter 4......Page 506
Chapter 5......Page 509
Chapter 6......Page 517
Chapter 7......Page 520
Chapter 8......Page 528
Index......Page 538