Information Geometry

این کتاب یک مقدمه جامع و یک پایه ریاضی جدید در زمینه هندسه اطلاعات با اثبات کامل و مطالب پیشینه دقیق در مورد نظریه اندازه گیری، هندسه ریمانی و نظریه فضایی Banach ارائه می دهد. مدل‌های اندازه‌گیری پارامتری به عنوان اجسام هندسی اساسی تعریف می‌شوند که می‌توانند هم ابعاد متناهی و هم بینهایت باشند. بر اساس این مدل‌ها، میدان‌های تانسور متعارف معرفی و بیشتر مورد مطالعه قرار می‌گیرند، از جمله متریک فیشر و تانسور آماری-چنتسوف، و تعبیه‌های منیفولدهای آماری مورد بررسی قرار می‌گیرند.

این پایه جدید سپس به نکات برجسته کاربردی منجر می‌شود، مانند به عنوان تعمیم و بسط نتیجه منحصر به فرد کلاسیک چنتسف یا نابرابری Cramér-Rao. علاوه بر این، چندین زمینه کاربردی جدید هندسه اطلاعات برجسته شده است، به عنوان مثال مدل‌های سلسله مراتبی و گرافیکی، نظریه پیچیدگی، ژنتیک جمعیت، یا زنجیره مارکوف مونت کارلو.

این کتاب مورد علاقه ریاضیدانانی است که به هندسه، نظریه اطلاعات یا مبانی آمار علاقه مند هستند، برای آماردانان و همچنین دانشمندان علاقه مند به مبانی ریاضی سیستم های پیچیده.

The book provides a comprehensive introduction and a novel mathematical foundation of the field of information geometry with complete proofs and detailed background material on measure theory, Riemannian geometry and Banach space theory.  Parametrised measure models are defined as fundamental geometric objects, which can be both finite or infinite dimensional. Based on these models, canonical tensor fields are introduced and further studied, including the Fisher metric and the Amari-Chentsov tensor, and embeddings of statistical manifolds are investigated.

This novel foundation then leads to application highlights, such as generalizations and extensions of the classical uniqueness result of Chentsov or the Cramér-Rao inequality.  Additionally, several new application fields of information geometry are highlighted, for instance hierarchical and graphical models, complexity theory, population genetics, or Markov Chain Monte Carlo.

The book will be of interest to mathematicians who are interested in geometry, information theory, or the foundations of statistics, to statisticians as well as to scientists interested in the mathematical foundations of complex systems.