Infinite Programming: Proceedings of an International Symposium on Infinite Dimensional Linear Programming Churchill College, Cambridge, United Kingdom, September 7–10, 1984

برنامه نویسی بی نهایت ممکن است به عنوان مطالعه مسائل برنامه ریزی ریاضی تعریف شود که در آن تعداد متغیرها و تعداد محدودیت ها هر دو احتمالا نامحدود هستند. بسیاری از مسائل بهینه سازی در مهندسی، تحقیقات عملیاتی و اقتصاد دارای فرمول های طبیعی به عنوان برنامه های بی نهایت هستند. برای مثال، مسئله تقریب چبیشف را می توان به صورت یک برنامه خطی با تعداد نامتناهی محدودیت مطرح کرد. به طور رسمی، با توجه به توابع پیوسته f,gl,g2, ••• ,gn در بازه [a,b]، می توانیم ترکیب خطی توابع gl,g2, ... ,gn را پیدا کنیم که بهترین تقریب یکنواخت برای f با انتخاب اعداد حقیقی a,xl,x2, •..,x تا n t€ [a,b] را به حداقل برسانید. این نمونه ای از یک برنامه نیمه نامتناهی است. تعداد متغیرها محدود و تعداد محدودیت ها نامحدود است. نمونه ای از یک برنامه نامتناهی که در آن تعداد محدودیت ها و تعداد متغیرها هر دو بی نهایت هستند، برنامه خطی پیوسته معروف است که می تواند به صورت زیر فرموله شود. T به حداقل رساندن ~ c(t)Tx(t)dt t b(t) ، مشروط به Bx(t) + fo Kx(s)ds x(t) .. 0، t € [0، T] • اگر x در نظر گرفته شود به عنوان عضوی از فضای برداری بی‌بعدی از توابع، پس این مسئله یک برنامه خطی است که بر روی آن فضا ارائه می‌شود. توجه کنید که اگر معادلات محدودیت متمایز شوند، این مسئله به شکل یک مسئله کنترل بهینه خطی با قیود نابرابری متغیر حالت IV به خود می گیرد.

Infinite programming may be defined as the study of mathematical programming problems in which the number of variables and the number of constraints are both possibly infinite. Many optimization problems in engineering, operations research, and economics have natural formul- ions as infinite programs. For example, the problem of Chebyshev approximation can be posed as a linear program with an infinite number of constraints. Formally, given continuous functions f,gl,g2, ••• ,gn on the interval [a,b], we can find the linear combination of the functions gl,g2, ... ,gn which is the best uniform approximation to f by choosing real numbers a,xl,x2, •.. ,x to n minimize a t€ [a,b]. This is an example of a semi-infinite program; the number of variables is finite and the number of constraints is infinite. An example of an infinite program in which the number of constraints and the number of variables are both infinite, is the well-known continuous linear program which can be formulated as follows. T minimize ~ c(t)Tx(t)dt t b(t) , subject to Bx(t) + fo Kx(s)ds x(t) .. 0, t € [0, T] • If x is regarded as a member of some infinite-dimensional vector space of functions, then this problem is a linear program posed over that space. Observe that if the constraint equations are differentiated, then this problem takes the form of a linear optimal control problem with state IV variable inequality constraints.