Infinite Linear Groups: An Account of the Group-theoretic Properties of Infinite Groups of Matrices

منظور ما از یک گروه خطی اساساً گروهی از ماتریس‌های معکوس با ورودی‌هایی در برخی زمینه‌های جابجایی است. یکی از پدیده‌های بیست سال اخیر یا بیشتر، استفاده روزافزون از ویژگی‌های گروه‌های خطی نامتناهی در نظریه گروه‌های (انتزاعی) بوده است، اگرچه داستان گروه‌های خطی نامتناهی به این شکل به سال‌های اولیه این قرن برمی‌گردد. از Burnside و Schur به ویژه. گروه های خطی نامتناهی در تئوری گروه ها در تعدادی از زمینه ها به وجود می آیند. یکی از رایج‌ترین آنها از طریق گروه‌های اتومورفیسم انواع خاصی از گروه‌های آبلی است، مانند گروه‌های آبلی آزاد با رتبه محدود، گروه‌های آبلی بدون پیچش با رتبه محدود و گروه‌های آبلی قابل بخش p با رتبه محدود. به دنبال کار پیشگام Mal'cev، بسیاری از نویسندگان گروه‌های محلول را که محدودیت‌های رتبه‌بندی مختلف و گروه‌های فیسم خودکار آنها را برآورده می‌کنند، مطالعه کرده‌اند و ویژگی‌های گروه‌های خطی نامتناهی اکنون نقش اصلی را در نظریه این گروه‌ها ایفا می‌کنند. اخیراً مشخص شده است که گروه‌های اتومورفیسم گروه‌های محلول محدود (به ویژه متابلیان محدود تولید شده) حاوی عوامل قابل‌توجهی هم‌شکل به گروه‌های خودمورفیسم مدول‌های محدود تولید شده روی حلقه‌های نوترین جابجایی خاص هستند. نتایج فصل 13 ما که به مطالعه چنین گروه هایی از خودمورفیسم ها می پردازد، می تواند برای ارائه اطلاعات زیادی در اینجا استفاده شود.

By a linear group we mean essentially a group of invertible matrices with entries in some commutative field. A phenomenon of the last twenty years or so has been the increasing use of properties of infinite linear groups in the theory of (abstract) groups, although the story of infinite linear groups as such goes back to the early years of this century with the work of Burnside and Schur particularly. Infinite linear groups arise in group theory in a number of contexts. One of the most common is via the automorphism groups of certain types of abelian groups, such as free abelian groups of finite rank, torsion-free abelian groups of finite rank and divisible abelian p-groups of finite rank. Following pioneering work of Mal'cev many authors have studied soluble groups satisfying various rank restrictions and their automor­ phism groups in this way, and properties of infinite linear groups now play the central role in the theory of these groups. It has recently been realized that the automorphism groups of certain finitely generated soluble (in particular finitely generated metabelian) groups contain significant factors isomorphic to groups of automorphisms of finitely generated modules over certain commutative Noetherian rings. The results of our Chapter 13, which studies such groups of automorphisms, can be used to give much information here.