Inequalities for differential forms

در سال‌های اخیر، فرم‌های دیفرانسیل نقش مهمی در بسیاری از زمینه‌ها داشته‌اند. به طور خاص، فرم‌هایی که معادلات هارمونیک A را برآورده می‌کنند، کاربردهای گسترده‌ای در زمینه‌هایی مانند نسبیت عام، نظریه کشش، تحلیل شبه هم‌نظامی، هندسه دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل غیرخطی در حوزه‌های روی منیفولدها پیدا کرده‌اند.

این تک نگاری اولین کتابی است که به طور سیستماتیک مجموعه ای از برآوردها و نابرابری های محلی و جهانی را برای اشکال دیفرانسیل ارائه می کند. این ارائه بر روی نابرابری های هاردی-لیتل وود، پوانکر، کاچیولی، تعبیه شده و نابرابری های نگهدارنده معکوس متمرکز است. برآوردهای یکپارچه برای عملگرها، مانند عملگر هموتوپی، عملگر لاپلاس-بلترامی، و عملگر گرادیان نیز پوشش داده شده است. علاوه بر این، برخی از موضوعات مرتبط مانند نابرابری های BMO، کلاس های Lipschitz، فضاهای Orlicz و نابرابری ها در گروه های Carnot در فصل پایانی مورد بحث قرار می گیرند. منابع فراوان کتابشناختی و مطالب تاریخی متن را تکمیل می کند.

این متن دقیق مستلزم آشنایی با موضوعاتی مانند اشکال دیفرانسیل، توپولوژی و نظریه فضایی سوبولف است. این به عنوان یک مرجع ارزشمند برای محققان، مدرسان و دانشجویان فارغ التحصیل در تجزیه و تحلیل و معادلات دیفرانسیل جزئی خواهد بود و می تواند به عنوان مواد اضافی برای دوره های خاص در این زمینه ها استفاده شود.

During the recent years, differential forms have played an important role in many fields. In particular, the forms satisfying the A-harmonic equations, have found wide applications in fields such as general relativity, theory of elasticity, quasiconformal analysis, differential geometry, and nonlinear differential equations in domains on manifolds.

This monograph is the first one to systematically present a series of local and global estimates and inequalities for differential forms. The presentation concentrates on the Hardy-Littlewood, Poincare, Cacciooli, imbedded and reverse Holder inequalities. Integral estimates for operators, such as homotopy operator, the Laplace-Beltrami operator, and the gradient operator are also covered. Additionally, some related topics such as BMO inequalities, Lipschitz classes, Orlicz spaces and inequalities in Carnot groups are discussed in the concluding chapter. An abundance of bibliographical references and historical material supplement the text throughout.

This rigorous text requires a familiarity with topics such as differential forms, topology and Sobolev space theory. It will serve as an invaluable reference for researchers, instructors and graduate students in analysis and partial differential equations and could be used as additional material for specific courses in these fields.