Implicit Partial Differential Equations

معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی به یکی از ابزارهای اصلی تحلیل ریاضی مدرن تبدیل شده است. با وجود اصطلاحات به ظاهر متناقض، موضوع معادلات دیفرانسیل غیرخطی منشأ خود را در نظریه معادلات دیفرانسیل خطی می‌یابد و بخش بزرگی از تحلیل تابعی از مطالعه pdes خطی الهام گرفته است. در سال‌های اخیر، ریاضی‌دانان متعددی معادلات غیرخطی، به‌ویژه معادلات مرتبه دوم، خطی و غیرخطی و به صورت واگرایی یا غیرواگرا را بررسی کرده‌اند. معادلات دیفرانسیل شبه خطی و کاملا غیرخطی کلاس های مرتبط از این معادلات هستند و به طور گسترده در ادبیات ریاضی مورد بررسی قرار گرفته اند. در این کار ما یک خانواده جدید از معادلات دیفرانسیل به نام "معادلات دیفرانسیل جزئی ضمنی" را ارائه می کنیم که به طور مفصل در مقدمه توضیح داده شده است (فصل 1). این یک کلاس از معادلات غیر خطی است که خانواده pdesهای بیضوی کاملا غیرخطی را شامل نمی شود. ما یک روش تحلیل تابعی جدید بر اساس قضیه دسته بایر برای رسیدگی به وجود جواب‌های تقریباً در همه جا از این معادلات ضمنی ارائه می‌کنیم. نتایج اکثراً در سال‌های اخیر به‌دست آمده‌اند و کاربردهای مهمی در محاسبه تغییرات، کشش گوش غیر خطی، مشکلات انتقال فاز و طراحی بهینه دارند. برخی از نتایج در جای دیگری منتشر نشده است.

Nonlinear partial differential equations has become one of the main tools of mod­ ern mathematical analysis; in spite of seemingly contradictory terminology, the subject of nonlinear differential equations finds its origins in the theory of linear differential equations, and a large part of functional analysis derived its inspiration from the study of linear pdes. In recent years, several mathematicians have investigated nonlinear equations, particularly those of the second order, both linear and nonlinear and either in divergence or nondivergence form. Quasilinear and fully nonlinear differential equations are relevant classes of such equations and have been widely examined in the mathematical literature. In this work we present a new family of differential equations called "implicit partial differential equations", described in detail in the introduction (c.f. Chapter 1). It is a class of nonlinear equations that does not include the family of fully nonlinear elliptic pdes. We present a new functional analytic method based on the Baire category theorem for handling the existence of almost everywhere solutions of these implicit equations. The results have been obtained for the most part in recent years and have important applications to the calculus of variations, nonlin­ ear elasticity, problems of phase transitions and optimal design; some results have not been published elsewhere.