Hyperbolicity of Projective Hypersurfaces

این کتاب پیشرفت‌های اخیر در مورد هذلولی کوبایاشی را در هندسه پیچیده، به‌ویژه در ارتباط با ابرسطح‌های تصویری، ارائه می‌کند. این یک زمینه بسیار فعال است، نه حداقل به دلیل روابط جذاب با هندسه پیچیده جبری و حسابی. کارهای بنیادی سرژ لانگ و پل آ. وویتا، از جمله، به حدس‌های دقیقی در رابطه با تأثیر متقابل این زمینه‌های تحقیقاتی منجر شد (به عنوان مثال وجود منحنی‌های کل متراکم زاریسکی باید با چگالی (پتانسیل) نقاط منطقی مطابقت داشته باشد.

شاید یکی از حدس‌هایی که بیشترین فعالیت را در نظریه هذلولی کوبایاشی ایجاد کرد، حدس‌هایی باشد که خود کوبایاشی در سال 1970 شکل داد و پیش‌بینی می‌کند که یک ابرسطح تصویری بسیار کلی با درجه به اندازه کافی بزرگ حاوی هیچ (غیر) نیست. منحنی های کامل) ثابت. از زمان کار مهم گرین و گریفیث در سال 1979، که بعداً توسط J.-P. Demailly، J. Noguchi، Y.-T. Siu و دیگران، روشن شد که یک استراتژی کلی ممکن برای حمله به این مشکل، نگاه کردن به معادلات دیفرانسیل جبری خاص (دیفرانسیل های جت) است که تمام منحنی ها باید برآورده شوند. این منجر به چندین نتیجه دیدنی شده است. توصیف وضعیت هنر پیرامون این حدس، هدف اصلی این کار است.

This book presents recent advances on Kobayashi hyperbolicity in complex geometry, especially in connection with projective hypersurfaces. This is a very active field, not least because of the fascinating relations with complex algebraic and arithmetic geometry. Foundational works of Serge Lang and Paul A. Vojta, among others, resulted in precise conjectures regarding the interplay of these research fields (e.g. existence of Zariski dense entire curves should correspond to the (potential) density of rational points).

Perhaps one of the conjectures which generated most activity in Kobayashi hyperbolicity theory is the one formed by Kobayashi himself in 1970 which predicts that a very general projective hypersurface of degree large enough does not contain any (non-constant) entire curves. Since the seminal work of Green and Griffiths in 1979, later refined by J.-P. Demailly, J. Noguchi, Y.-T. Siu and others, it became clear that a possible general strategy to attack this problem was to look at particular algebraic differential equations (jet differentials) that every entire curve must satisfy. This has led to some several spectacular results. Describing the state of the art around this conjecture is the main goal of this work.