Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I

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Title......Page 5
Copyright......Page 6
Contents......Page 7
0 Introduction......Page 13
Part I Preliminaries......Page 31
1 Holomorphic Functions of Many Variables......Page 33
1.1.1 Definition and basic properties......Page 34
1.1.2 Background on Stokes’ formula......Page 36
1.1.3 Cauchy’s formula......Page 39
1.2.1 Cauchy’s formula and analyticity......Page 40
1.2.2 Applications of Cauchy’s formula......Page 42
1.3 The equation…......Page 47
Exercises......Page 49
2 Complex Manifolds......Page 50
2.1.1 Definitions......Page 51
2.1.2 The tangent bundle......Page 53
2.1.3 Complex manifolds......Page 55
2.2.1 Tangent bundle of a complex manifold......Page 56
2.2.2 The Frobenius theorem......Page 58
2.2.3 The Newlander–Nirenberg theorem......Page 62
2.3.1 Definition......Page 65
2.3.2 Local exactness......Page 67
2.3.3 Dolbeault complex of a holomorphic bundle......Page 69
Riemann surfaces......Page 71
Complex projective space......Page 72
Exercises......Page 73
3 Kähler Metrics......Page 75
3.1.1 Hermitian geometry......Page 76
3.1.2 Hermitian and Kähler metrics......Page 78
Volume form......Page 79
Submanifolds......Page 80
3.2.1 Background on connections......Page 81
3.2.2 Kähler metrics and connections......Page 83
3.3.1 Chern form of line bundles......Page 87
3.3.2 Fubini–Study metric......Page 88
3.3.3 Blowups......Page 90
Exercises......Page 94
4 Sheaves and Cohomology......Page 95
4.1.1 Definitions, examples......Page 97
4.1.2 Stalks, kernels, images......Page 101
4.1.3 Resolutions......Page 103
The Cech resolution......Page 104
The de Rham resolution......Page 105
The Dolbeault resolution......Page 106
4.2.1 Abelian categories......Page 107
4.2.2 Injective resolutions......Page 108
4.2.3 Derived functors......Page 111
4.3 Sheaf cohomology......Page 114
4.3.1 Acyclic resolutions......Page 115
4.3.2 The de Rham theorems......Page 120
4.3.3 Interpretations of the group H......Page 122
Exercises......Page 125
Part II The Hodge Decomposition......Page 127
5 Harmonic Forms and Cohomology......Page 129
5.1.1 The L metric......Page 131
5.1.3 Adjoints of the operators…......Page 133
5.1.4 Laplacians......Page 136
5.2.1 Symbols of differential operators......Page 137
5.2.2 Symbol of the Laplacian......Page 138
5.2.3 The fundamental theorem......Page 140
5.3.1 Cohomology and harmonic forms......Page 141
5.3.2 Duality theorems......Page 142
Exercises......Page 148
6 The Case of Kähler Manifolds......Page 149
6.1.1 Kähler identities......Page 151
6.1.2 Comparison of the Laplacians......Page 153
6.1.3 Other applications......Page 154
6.2.1 Commutators......Page 156
6.2.2 Lefschetz decomposition on forms......Page 158
6.2.3 Lefschetz decomposition on the cohomology......Page 160
6.3.1 Other Hermitian identities......Page 162
6.3.2 The Hodge index theorem......Page 164
Exercises......Page 166
7 Hodge Structures and Polarisations......Page 168
7.1.1 Hodge structure......Page 169
7.1.2 Polarisation......Page 172
7.1.3 Polarised varieties......Page 173
7.2.1 Projective space......Page 179
7.2.2 Hodge structures of weight 1 and abelian varieties......Page 180
7.2.3 Hodge structures of weight 2......Page 182
7.3.1 Morphisms of Hodge structures......Page 186
7.3.2 The pullback and the Gysin morphism......Page 188
7.3.3 Hodge structure of a blowup......Page 192
Exercises......Page 194
8 Holomorphic de Rham Complexes and Spectral Sequences......Page 196
8.1.1 Resolutions of complexes......Page 198
8.1.2 Derived functors......Page 201
8.1.3 Composed functors......Page 206
Application: Proof of the Leray–Hirsch theorem 7.33......Page 207
8.2.1 Holomorphic de Rham resolutions......Page 208
8.2.2 The logarithmic case......Page 209
8.2.3 Cohomology of the logarithmic complex......Page 210
8.3.1 Filtered complexes......Page 212
8.3.2 Spectral sequences......Page 213
8.3.3 The Frölicher spectral sequence......Page 216
8.4.1 Filtrations on the logarithmic complex......Page 219
8.4.2 First terms of the spectral sequence......Page 220
8.4.3 Deligne’s theorem......Page 225
Exercises......Page 226
Part III Variations of Hodge Structure......Page 229
9 Families and Deformations......Page 231
9.1.1 Trivialisations......Page 232
9.1.2 The Kodaira–Spencer map......Page 235
9.2.1 Local systems and flat connections......Page 240
9.2.2 The Cartan–Lie formula......Page 243
9.3.1 Semicontinuity theorems......Page 244
9.3.2 The Hodge numbers are constant......Page 247
9.3.3 Stability of Kähler manifolds......Page 248
10 Variations of Hodge Structure......Page 251
10.1.1 Grassmannians......Page 252
10.1.2 The period map......Page 255
10.1.3 The period domain......Page 258
10.2.1 Hodge bundles......Page 261
10.2.2 Transversality......Page 262
10.2.3 Computation of the differential......Page 263
10.3.1 Curves......Page 266
10.3.2 Calabi–Yau manifolds......Page 270
Exercises......Page 271
Part IV Cycles and Cycle Classes......Page 273
11 Hodge Classes......Page 275
11.1.1 Analytic subsets......Page 276
11.1.2 Cohomology class......Page 281
11.1.3 The Kähler case......Page 285
11.1.4 Other approaches......Page 287
11.2.1 Construction......Page 288
11.3.1 Definitions and examples......Page 291
11.3.2 The Hodge conjecture......Page 296
11.3.3 Correspondences......Page 297
Exercises......Page 299
12 Deligne–Beilinson Cohomology and the Abel–Jacobi map......Page 302
12.1.1 Intermediate Jacobians......Page 303
12.1.2 The Abel–Jacobi map......Page 304
12.1.3 Picard and Albanese varieties......Page 308
12.2.1 Correspondences......Page 312
12.2.2 Some results......Page 314
12.3.1 The Deligne complex......Page 316
12.3.2 Differential characters......Page 318
12.3.3 Cycle class......Page 322
Exercises......Page 325
Bibliography......Page 327
Index......Page 331