Hilbert Space, Boundary Value Problems and Orthogonal Polynomials

دستگاه زیر به سه بخش تقسیم می‌شود: فضاهای هیلبرت و عملگرهای خود الحاقی (محدود و نامحدود)، سیستم‌های همیلتونی خطی و همتاهای اسکالر آنها و کاربرد آنها برای چندجمله‌ای متعامد. به یک معنا، این یک به‌روزرسانی از Eigenfunction Expansion کلاسیک E. C. Titchmarsh است. علاقه من به این حوزه ها در سال های 1960-1961 آغاز شد، زمانی که به عنوان یک دانشجوی کارشناسی ارشد، توسط مشاورانم E. J. McShane و Marvin Rosenblum با ایده های فضای هیلبرت آشنا شدم. سال بعد یک مشکل توسط ماروین روزنبلوم به من داده شد که شامل یک عملگر دیفرانسیل با شرط مرزی \"انتگرال\" بود. در همان سال در کلاسی که توسط گروه فیزیک برگزار شد شرکت کردم که در آن مدرس در مورد نظریه توزیع های شوارتز و نظریه Titchmarsh در مورد مسائل ارزش مرزی منفرد Sturm-Liouville بحث می کرد. من فکر می کنم پروفسور اسمیت مربی اصلی بود، اما حافظه از کار می افتد. با این وجود، من عمیقاً مدیون او هستم، زیرا، همانطور که خواهیم دید، این موضوعات برای آنچه در ادامه خواهد آمد، اساسی هستند. من نیز عمیقاً مدیون دیگران هستم. اول F. V. Atkinson به عنوان یک غول در میدان ایستاده است. دبلیو ان. اوریت نیز همین کار را می کند. این دو در سالهای جوانی (و سالهای بعد) برای من بسیار تشویق کننده بودند. آنها کارها را «درست» انجام دادند. خواندن کتاب و مقالات پروفسور اتکینسون و بسیاری از مقالات بنیادی بسیار خوب پروفسور اوریت یک مکاشفه بود. آنها بسیار مورد احترام هستند و از آنها تشکر عمیقی می شود.

The following tract is divided into three parts: Hilbert spaces and their (bounded and unbounded) self-adjoint operators, linear Hamiltonian systemsand their scalar counterparts and their application to orthogonal polynomials. In a sense, this is an updating of E. C. Titchmarsh's classic Eigenfunction Expansions. My interest in these areas began in 1960-61, when, as a graduate student, I was introduced by my advisors E. J. McShane and Marvin Rosenblum to the ideas of Hilbert space. The next year I was given a problem by Marvin Rosenblum that involved a differential operator with an "integral" boundary condition. That same year I attended a class given by the Physics Department in which the lecturer discussed the theory of Schwarz distributions and Titchmarsh's theory of singular Sturm-Liouville boundary value problems. I think a Professor Smith was the in­ structor, but memory fails. Nonetheless, I am deeply indebted to him, because, as we shall see, these topics are fundamental to what follows. I am also deeply indebted to others. First F. V. Atkinson stands as a giant in the field. W. N. Everitt does likewise. These two were very encouraging to me during my younger (and later) years. They did things "right." It was a revelation to read the book and papers by Professor Atkinson and the many fine fundamen­ tal papers by Professor Everitt. They are held in highest esteem, and are given profound thanks.