Higher Order Partial Differential Equations in Clifford Analysis: Effective Solutions to Problems

مهمترین نکته این است که معادلات را به شکل زیبا بنویسیم و موفقیت آنها در کاربردها تضمین شود. پاول دیراک قضایای منحصر به فرد بودن و وجود برای حل مسائل مرزی و مقدار اولیه برای سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا (PDE) به اندازه کافی شناخته شده است. در این کتاب، مسائلی که در نظر گرفته می‌شوند، مسائلی هستند که راه‌حل‌های آن‌ها را می‌توان به صورت ربع، یعنی به شکلی مؤثر نشان داد. چنین مسائلی کاربردهای قابل توجهی در فیزیک ریاضی، مکانیک اجسام تغییر شکل پذیر، الکترومغناطیس، مکانیک کوانتومی نسبیتی و برخی از تعمیم های طبیعی آنها دارند. تقریباً همه چنین مشکلاتی را می توان در چارچوب تحلیل کلیفورد تنظیم کرد. علاوه بر این، آنها را می توان بدون اعمال هیچ قانون فیزیکی به دست آورد، شرایطی که این ایده را به وجود می آورد که تحلیل کلیفورد خود می تواند تعمیم معادلات کلاسیک یا معادلات جدیدی را به طور کلی پیشنهاد کند که ممکن است محتوای فیزیکی داشته باشند. به همین دلیل، تحلیل کلیفورد یکی از قابل توجه ترین زمینه ها را در ریاضیات مدرن و همچنین در فیزیک مدرن نشان می دهد.

The most important thing is to write equations in a beautiful form and their success in applications is ensured. Paul Dirac The uniqueness and existence theorems for the solutions of boundary and initial value problems for systems of high-order partial differential equations (PDE) are sufficiently well known. In this book, the problems considered are those whose solutions can be represented in quadratures, i.e., in an effective form. Such problems have remarkable applications in mathematical physics, the mechanics of deformable bodies, electro­ magnetism, relativistic quantum mechanics, and some of their natural generalizations. Almost all such problems can be set in the context of Clifford analysis. Moreover, they can be obtained without applying any physical laws, a circumstance that gives rise to the idea that Clifford analysis itself can suggest generalizations of classical equations or new equations altogether that may have some physical content. For that reason, Clifford analysis represents one of the most remarkable fields in modem mathematics as well as in modem physics.