High Order Difference Methods for Time Dependent PDE

کتاب‌های زیادی درباره روش‌های تفاوت ?nite (FDM) نوشته شده‌اند، اما دلایل خوبی برای نوشتن کتاب دیگری وجود دارد. دلیل اصلی این است که حتی اگر روش های مرتبه بالاتر برای مدت طولانی شناخته شده باشند، تجزیه و تحلیل پایداری، دقت و اثربخشی تا حد زیادی وجود ندارد. به عنوان مثال، تعریف صحت مرتبه بالا رسمی بر این فرض استوار است که راه حل واقعی صاف است، یا به طور متفاوت بیان می شود، که شبکه به اندازه کافی نیست که همه تغییرات در راه حل به خوبی حل شوند. در بسیاری از کاربردها، این فرض کامل نمی شود، و جالب است بدانید که آیا یک روش مرتبه بالا هنوز موثر است یا خیر. مشکل دیگری که نیاز به تجزیه و تحلیل کامل دارد، ساختن شرایط مرزی است که هم دقت و هم پایداری حفظ شود. و در مجموع، در طول سال‌های گذشته، توسعه‌ای کاملاً قوی وجود داشته است، به‌ویژه زمانی که به عملگرهای تفاوت بسیار کلی و پایدار برای کاربرد در مسائل مقدار اولیه-مرز می‌رسد. محتوای کتاب صرفاً نظری نیست، و همچنین مجموعه ای از دستور العمل ها برای انواع مختلف کاربردها نیست. ایده این است که یک نمای کلی از نظریه اساسی و اصول ساخت و ساز برای روش‌های متفاوت بدون پرداختن به تمام جزئیات ارائه شود. به طور گسترده، قضایای خاصی ارائه شده است، اما در اغلب موارد، برهان ها حذف می شوند. توضیح و کاربرد نظریه با استفاده از مدل ساده - amples نشان داده شده است.

Many books have been written on ?nite difference methods (FDM), but there are good reasons to write still another one. The main reason is that even if higher order methods have been known for a long time, the analysis of stability, accuracy and effectiveness is missing to a large extent. For example, the de?nition of the formal high order accuracy is based on the assumption that the true solution is smooth, or expressed differently, that the grid is ?ne enough such that all variations in the solution are well resolved. In many applications, this assumption is not ful?lled, and then it is interesting to know if a high order method is still effective. Another problem that needs thorough analysis is the construction of boundary conditions such that both accuracy and stability is upheld. And ?nally, there has been quite a strongdevelopmentduringthe last years, inparticularwhenit comesto verygeneral and stable difference operators for application on initial–boundary value problems. The content of the book is not purely theoretical, neither is it a set of recipes for varioustypesof applications. The idea is to give an overviewof the basic theoryand constructionprinciplesfor differencemethodswithoutgoing into all details. For - ample, certain theorems are presented, but the proofs are in most cases left out. The explanation and application of the theory is illustrated by using simple model - amples.