High dimensional probability II

احتمال ابعادی بالا، به این معنا که موضوعاتی را که در این جلد مطرح شده است، در بر می گیرد، حدود سی سال پیش با تحقیق در دو حوزه مرتبط آغاز شد: قضایای حدی برای مجموع بردارهای تصادفی با ارزش فضای مستقل باناخ و فرآیندهای کلی گاوسی. یکی از ویژگی های مهم در این مطالعات تحقیقاتی گذشته این واقعیت است که آنها ماهیت احتمالی اساسی مشکلات در نظر گرفته شده را برجسته کردند. تا حدی به این دلیل بود که با کار بر روی یک فضای عمومی Banach، باید ساختار اضافی و غالباً خارجی تحمیل شده توسط متغیرهای تصادفی که مقادیری را در فضای اقلیدسی می گیرند، یا فرآیندهایی که توسط مجموعه هایی در R یا Rd نمایه می شوند را کنار گذاشت. انجام این کار به پیشرفت های چشمگیری منجر شد، به ویژه در نظریه فرآیند گاوس. همچنین منجر به ایجاد یا معرفی ابزارهای جدید قدرتمندی شد، مانند تصادفی سازی، جداسازی، نابرابری های گشتاور و نمایی، زنجیربندی، ایزوپرمتری و غلظت اندازه گیری، که در مناطقی بسیار فراتر از آنچه برای آنها ایجاد شده اند اعمال می شود. نظریه عمومی فرآیندهای تجربی، با کاربردهای گسترده آن در آمار، مطالعه زمان محلی فرآیندهای مارکوف، مشکلات خاص در تحلیل هارمونیک، و نظریه کلی فرآیندهای تصادفی، تنها چندین حوزه وسیع هستند که در آنها تکنیک های فرآیند گاوسی و تکنیک‌های احتمالی در فضاهای Banach تأثیر قابل‌توجهی گذاشته‌اند. به موازات این کار در مورد احتمال در فضاهای Banach، احتمال کلاسیک و نظریه فرآیند تجربی با توسعه نتایج قدرتمند در تقریب های قوی غنی شدند.

High dimensional probability, in the sense that encompasses the topics rep­ resented in this volume, began about thirty years ago with research in two related areas: limit theorems for sums of independent Banach space valued random vectors and general Gaussian processes. An important feature in these past research studies has been the fact that they highlighted the es­ sential probabilistic nature of the problems considered. In part, this was because, by working on a general Banach space, one had to discard the extra, and often extraneous, structure imposed by random variables taking values in a Euclidean space, or by processes being indexed by sets in R or Rd. Doing this led to striking advances, particularly in Gaussian process theory. It also led to the creation or introduction of powerful new tools, such as randomization, decoupling, moment and exponential inequalities, chaining, isoperimetry and concentration of measure, which apply to areas well beyond those for which they were created. The general theory of em­ pirical processes, with its vast applications in statistics, the study of local times of Markov processes, certain problems in harmonic analysis, and the general theory of stochastic processes are just several of the broad areas in which Gaussian process techniques and techniques from probability in Banach spaces have made a substantial impact. Parallel to this work on probability in Banach spaces, classical proba­ bility and empirical process theory were enriched by the development of powerful results in strong approximations.