Hierarchical Optimization and Mathematical Physics

این کتاب باید به عنوان مقدمه‌ای بر مجموعه‌ای از سیستم‌های سلسله مراتبی کنترل بهینه در نظر گرفته شود، که در آن زیرسیستم‌ها با معادلات دیفرانسیل جزئی از انواع مختلف توصیف می‌شوند. بهینه سازی با استفاده از یک طرح دو سطحی انجام می شود که در آن مرکز هماهنگی را برای سطح بالایی بهینه می کند و زیرسیستم ها راه حل های بهینه را برای مسائل محلی مستقل پیدا می کنند. الگوریتم اصلی یک روش تجمیع تکراری است. هماهنگ کننده مشکل را با متغیرهای کلان حل می کند که تعداد آنها از تعداد متغیرهای اولیه کمتر است. این مشکل اغلب بسیار ساده است. در سطح پایین تر، ما مسائل کنترل بهینه معمول ریاضی فیزیک ریاضی را داریم که بسیار ساده تر از عبارات اولیه هستند. بنابراین، تجزیه (یا کاهش به مسائل بدون ابعاد) به دست می آید. این الگوریتم دنباله ای از به اصطلاح راه حل های تفکیک شده را می سازد که برای مشکل اصلی امکان پذیر است و تحت فرضیات خاصی به حل بهینه آن همگرا می شود (به عنوان مثال، تحت تحدب شدید توابع ورودی). بنابراین، ما شکاف بین دو رشته را پر می کنیم: نظریه بهینه سازی سیستم های مقیاس بزرگ و فیزیک ریاضی. انگیزه اول یک مدل خاص از برنامه ریزی شعبه بود که در آن محصول نهایی از یک رابطه مجموعه از پیش تعیین شده تبعیت می کند. ضریب نسبت به حداکثر می رسد. محدودیت ها به شکل نابرابری های خطی با ساختار مورب بلوک بخشی از یک ماتریس که مربوط به زیرسیستم ها است داده می شود. هماهنگ کننده مرکزی تولید نهایی را از اجزای تولید شده توسط زیرسیستم ها جمع آوری می کند.

This book should be considered as an introduction to a special dass of hierarchical systems of optimal control, where subsystems are described by partial differential equations of various types. Optimization is carried out by means of a two-level scheme, where the center optimizes coordination for the upper level and subsystems find the optimal solutions for independent local problems. The main algorithm is a method of iterative aggregation. The coordinator solves the problern with macrovariables, whose number is less than the number of initial variables. This problern is often very simple. On the lower level, we have the usual optimal control problems of math­ ematical physics, which are far simpler than the initial statements. Thus, the decomposition (or reduction to problems ofless dimensions) is obtained. The algorithm constructs a sequence of so-called disaggregated solutions that are feasible for the main problern and converge to its optimal solutionunder certain assumptions ( e.g., under strict convexity of the input functions). Thus, we bridge the gap between two disciplines: optimization theory of large-scale systems and mathematical physics. The first motivation was a special model of branch planning, where the final product obeys a preset assortment relation. The ratio coefficient is maximized. Constraints are given in the form of linear inequalities with block diagonal structure of the part of a matrix that corresponds to subsystems. The central coordinator assem­ bles the final production from the components produced by the subsystems.