Hierarchical Matrices: Algorithms and Analysis

این تک نگاری مستقل الگوریتم های ماتریسی و تحلیل آنها را ارائه می دهد. تکنیک جدید نه تنها حل سیستم های خطی، بلکه تقریب توابع ماتریس را نیز ممکن می سازد، به عنوان مثال، ماتریس نمایی. کاربردهای دیگر عبارتند از حل معادلات ماتریسی، به عنوان مثال، معادله لیاپانوف یا ریکاتی. پیشینه ریاضی مورد نیاز را می توان در ضمیمه یافت.

تحلیل عددی ماتریس های پرجمعیت در مقیاس بزرگ معمولاً پرهزینه است. با این حال، تکنیک ماتریس های سلسله مراتبی ذخیره ماتریس ها و انجام عملیات ماتریس را تقریباً با هزینه تقریبا خطی و درجه خطای تقریبی قابل کنترل امکان پذیر می کند. برای کلاس های مهم ماتریس ها، هزینه محاسباتی تنها به صورت لگاریتمی با خطای تقریب افزایش می یابد. عملیات ارائه شده شامل وارونگی ماتریس و تجزیه LU است.

از آنجایی که مسائل جبر خطی در مقیاس بزرگ در محاسبات علمی استاندارد هستند، موضوع ماتریس های سلسله مراتبی مورد توجه دانشمندان در ریاضیات محاسباتی، فیزیک، شیمی و مهندسی است. .

This self-contained monograph presents matrix algorithms and their analysis. The new technique enables not only the solution of linear systems but also the approximation of matrix functions, e.g., the matrix exponential. Other applications include the solution of matrix equations, e.g., the Lyapunov or Riccati equation. The required mathematical background can be found in the appendix.

The numerical treatment of fully populated large-scale matrices is usually rather costly. However, the technique of hierarchical matrices makes it possible to store matrices and to perform matrix operations approximately with almost linear cost and a controllable degree of approximation error. For important classes of matrices, the computational cost increases only logarithmically with the approximation error. The operations provided include the matrix inversion and LU decomposition.

Since large-scale linear algebra problems are standard in scientific computing, the subject of hierarchical matrices is of interest to scientists in computational mathematics, physics, chemistry and engineering.