Heat Kernel and Analysis on Manifolds

Cover......Page 1
Heat Kernel and Analysis on Manifolds......Page 4
ISBN 9780821849354......Page 5
Table of Contents......Page 8
Preface......Page 12
1.1. Historical background......Page 20
1.2. The Green formula......Page 21
1.3. The heat equation......Page 23
Notes......Page 32
2.1. Spaces C^k and L^p......Page 34
2.2. Convolution and partition of unity......Page 36
2.3. Approximation of integrable functions by smooth ones......Page 39
2.4. Distributions......Page 42
2.5. Approximation of distributions by smooth functions......Page 47
2.6. Weak derivatives and Sobolev spaces......Page 53
2.7. Heat semigroup in R^n......Page 59
Notes......Page 66
3.1. Smooth manifolds......Page 68
3.2. Tangent vectors......Page 72
3.3. Riemannian metric......Page 75
3.4. Riemannian measure......Page 78
3.5. Divergence theorem......Page 83
3.6. Laplace operator and weighted manifolds......Page 86
3.7. Submanifolds......Page 89
3.8. Product manifolds......Page 91
3.9. Polar coordinates in R^n, S^n, H^n......Page 93
3.10. Model manifolds......Page 99
3.11. Length of paths and the geodesic distance......Page 104
3.12. Smooth mappings and isometries......Page 110
Notes......Page 114
4.1. Distributions and Sobolev spaces......Page 116
4.2. Dirichlet Laplace operator and resolvent......Page 122
4.3. Heat semigroup and L²-Cauchy problem......Page 131
Notes......Page 141
5.1. Chain rule in W⁰₁......Page 142
5.2. Chain rule in W¹......Page 146
5.3. Markovian properties of resolvent and the heat semigroup......Page 149
5.4. Weak maximum principle......Page 154
5.5. Resolvent and the heat semigroup in subsets......Page 162
Notes......Page 168
6.1. Embedding theorems......Page 170
6.2. Two technical lemmas......Page 178
6.3. Local elliptic regularity......Page 181
6.4. Local parabolic regularity......Page 189
Notes......Page 200
7.1. Local regularity issues......Page 202
7.2. Smoothness of the semigroup solutions......Page 209
7.3. The heat kernel......Page 217
7.4. Extension of the heat semigroup......Page 220
7.5. Smoothness of the heat kernel in t, x, y......Page 227
7.6. Notes......Page 234
8.1. The minimality of the heat semigroup......Page 236
8.2. Extension of resolvent......Page 238
8.3. Strong maximum/minimum principle......Page 241
8.4. Stochastic completeness......Page 250
Notes......Page 260
9.1. Fundamental solutions......Page 262
9.2. Some examples......Page 267
9.3. Eternal solutions......Page 278
Notes......Page 282
10.1. Spectra of operators in Hilbert spaces......Page 284
10.2. Bottom of the spectrum......Page 290
10.3. The bottom eigenfunction......Page 294
10.4. The heat kernel in relatively compact regions......Page 296
10.5. Minimax principle......Page 303
10.6. Discrete spectrum and compact embedding theorem......Page 306
10.7. Positivity of Al......Page 310
10.8. Long time asymptotic of log pt......Page 311
Notes......Page 312
11.1. The notion of completeness......Page 314
11.2. Lipschitz functions......Page 315
11.3. Essential self-adjointness......Page 320
11.4. Stochastic completeness and the volume growth......Page 322
11.5. Parabolic manifolds......Page 332
11.6. Spectrum and the distance function......Page 336
Notes......Page 338
12.1. The integrated maximum principle......Page 340
12.2. The Davies-Gaffney inequality......Page 343
12.3. Upper bounds of higher eigenvalues......Page 346
12.4. Semigroup solutions with a harmonic initial function......Page 350
12.5. Takeda\'s inequality......Page 352
Notes......Page 358
13.1. The Green operator......Page 360
13.2. Superaveraging functions......Page 367
13.3. Local Harnack inequality......Page 370
13.4. Convergence of sequences of a-harmonic functions......Page 374
13.5. The positive spectrum......Page 376
13.6. Green function as a fundamental solution......Page 378
Notes......Page 381
14.1. Ultracontractivity and heat kernel bounds......Page 384
14.2. Faber-Krahn inequalities......Page 386
14.3. The Nash inequality......Page 387
14.4. The function classes L and Γ......Page 390
14.5. Faber-Krahn implies ultracontractivity......Page 399
14.6. Ultracontractivity implies a Faber-Krahn inequality......Page 400
14.7. Lower bounds of higher eigenvalues......Page 403
14.8. Faber-Krahn inequality on direct products......Page 405
Notes......Page 407
15.1. L²-mean value inequality......Page 410
15.2. Faber-Krahn inequality in balls......Page 416
15.3. The weighted L²-norm of heat kernel......Page 418
15.4. Faber-Krahn inequality in unions of balls......Page 421
15.5. Off-diagonal upper bounds......Page 423
15.6. Relative Faber-Krahn inequality and Li-Yau upper bounds......Page 428
Notes......Page 433
16.1. The weighted L²-norm of P_tf......Page 436
16.2. Gaussian upper bounds of the heat kernel......Page 441
16.3. On-diagonal lower bounds......Page 443
16.4. Epilogue: alternative ways of constructing the heat kernel......Page 447
Notes and further references......Page 448
A.1. Hilbert spaces......Page 450
A.2. Weak topology......Page 451
A.4. Measure theory and integration......Page 453
A.5. Self-adjoint operators......Page 463
A.6. Gamma function......Page 474
Bibliography......Page 476
Some notation......Page 494
Index......Page 496