Harmonic Analysis of Spherical Functions on Real Reductive Groups

تحلیل فضاهای متقارن، یا به طور کلی، بر روی فضاهای همگن گروه‌های دروغ نیمه ساده، موضوعی است که در سال‌های اخیر دستخوش تحول شدیدی شده است و به بخش مرکزی ریاضیات معاصر تبدیل شده است. این تنها قابل انتظار است، زیرا فضاهای همگن و نمایش های گروهی به طور طبیعی در زمینه های متنوعی از نظریه اعداد و هندسه گرفته تا فیزیک ذرات و شیمی پلیمر به وجود می آیند. رشد انفجاری آن گاهی اوقات درک این موضوع را دشوار می کند که طبق نظریه های ریاضی، واقعاً نسبتاً جوان است. ایده های اولیه در این موضوع (مانند بسیاری از موارد دیگر) به الی کارت و هرمان ویل برمی گردد که فضاهای متقارن فشرده را در دهه 1930 مطالعه کردند. با این حال، توسعه کامل آن تا دهه 1950 آغاز نشد، زمانی که گلفند و هاریش چاندرا جرأت کردند رویای تئوری بازنمایی‌هایی را ببینند که شامل همه گروه‌های دروغ نیمه ساده باشد. نظریه هاریش چاندرا در مورد توابع کروی اساساً در اواخر دهه 1950 کامل شد و قرار بود ثابت شود که پیشرو کار تاریخی او در مورد تجزیه و تحلیل هارمونیک بر روی گروه های تقلیلی است که الهام بخش یک نسل کامل از ریاضیدانان بوده است. این تحلیل هارمونیک توابع کروی در فضاهای متقارن است که در کانون توجه این کتاب قرار دارد. سؤالات اساسی تحلیل هارمونیک در فضاهای متقارن شامل تأثیر متقابل جنبه های هندسی، تحلیلی و جبری این فضاها است. بنابراین، آنها توجه زیادی را به خود جلب کرده اند، و توضیحات بسیار عالی از مضامین مشخصه این موضوع وجود دارد.

Analysis on Symmetric spaces, or more generally, on homogeneous spaces of semisimple Lie groups, is a subject that has undergone a vigorous development in recent years, and has become a central part of contemporary mathematics. This is only to be expected, since homogeneous spaces and group representations arise naturally in diverse contexts ranging from Number theory and Geometry to Particle Physics and Polymer Chemistry. Its explosive growth sometimes makes it difficult to realize that it is actually relatively young as mathematical theories go. The early ideas in the subject (as is the case with many others) go back to Elie Cart an and Hermann Weyl who studied the compact symmetric spaces in the 1930's. However its full development did not begin until the 1950's when Gel'fand and Harish­ Chandra dared to dream of a theory of representations that included all semisimple Lie groups. Harish-Chandra's theory of spherical functions was essentially complete in the late 1950's, and was to prove to be the forerunner of his monumental work on harmonic analysis on reductive groups that has inspired a whole generation of mathematicians. It is the harmonic analysis of spherical functions on symmetric spaces, that is at the focus of this book. The fundamental questions of harmonic analysis on symmetric spaces involve an interplay of the geometric, analytical, and algebraic aspects of these spaces. They have therefore attracted a great deal of attention, and there have been many excellent expositions of the themes that are characteristic of this subject.