Guía de estudio para el curso: Variable compleja y funciones especiales

CAPITULO 1. 

El número complejo. Propiedades topológicas del plano complejo. Continuidad y diferenciablidad de funciones a valores complejos. Función holomorfa. Condiciones de Cauchy-Riemann. Series: crite­rios de convergencia. Series de potencias. El teorema de Cauchy-Hadamard. La distancia cordal....................1 


CAPITULO 2. 

Integral curvilínea. Teoremas de Cauchy y Morera. Fórmula de Cauchy. Las funciones elementales. La función zª. Convergencia uniforme de funciones holomorfas en una regi6n. Desarrollo en serie de po­tencias: el teorema de Taylor. Los ceros de una funci6n holomorfa. Determinación de una función holomorfa por uno de sus elemen­tos analíticos. Principio del módulo máximo. Funciones armónicas. El núcleo de Poisson y su conjugado. La transformación conforme. Lema de Schwarz................................................................ 17

CAPITULO 3.
 
Propiedades de la representación conforme. La transformación lineal. La transformación bilineal. El teorema de Riemann. La fórmula de Poisson. Campos armónicos planos............................48 

CAPITULO 4. 

La continuación analítica. Singularidades aisladas. Ceros y polos. El punto en el infinito. Teorema de los residuos. Principio del argumento. Teorema de Rouché. Teorema fundamental del álgebra. El comportamiento de una función holomorfa alrededor de un cero. El teorema de monodromía. La función analítica completa. El teorema de Abel............................................................. 58

CAPITULO 5. 

La función Gamma. La fórmula de recurrencia. La función Beta. La fórmula de duplicación de Legendre. La fórmula de Stirling. Pro­ductos infinitos. El teorema de Mitagg-Leffler y las funciones racionales .............................................................. 73

CAPITULO 6. 

Ecuacicnes diferenciales lineales homogéneas. Singularidades. Teo­rema de Fuchs. Wronskiano. Naturaleza de la solución en un entor­no de una singularidad regular. La ecuación de Bessel, Funciones de Bessel, fórmulas de recurrencia, ceros. Fórmula de Lümmel. Desarrollos asintóticos. Las funciones de Weber y Hankel.............................. 81 

CAPITULO 7. 

La ecuación diferencial de Legendre. Polinomios de Legendre, ceros. La fórmula de Rodrigues. Ortogonalidad de los polinomios de Legendre .... 101 

CAPITULO 8. 

Funciones holomorfas en varias variables complejas. Lema de Hartogs. Teorema de preparación de Weierstrass. Teorema de las funciones implícitas ..................................................... 105

CAPITULO 9. 

La transformada de Laplace. El teorema de Lerch. Algunas trans­formadas útiles. Aplicación a las, ecuaciones diferenciales ordinarias. La convolución. El teorema del valor incial .................. 111 

BIBLIOGRAFIA ..................................................... 117