Grundstrukturen der Analysis II

برای تنظیم یک حساب دیفرانسیل مناسب و جامع در فضاهای کلی تر از فضاهای هنجار، نیاز به مفاهیم همگرایی است که فقط در موارد خاص توپولوژی ها را تعریف می کنند. این امر به ویژه هنگام اثبات قاعده زنجیره ای مرتبه بالاتر مشهود است. اگر کسی بخواهد قاعده زنجیره مرتبه دوم را برای نگاشت t: X 0--+ Y و g: Y 0--+ Z اثبات کند، رابطه D(g 0 f) (x) = = را می آورد که در قانون زنجیره مرتبه اول Dg(t(x)) 0 Dt(x) با استفاده از نقشه ترکیب y از L(X, Y) X L(Y, Z) به L(X, Z) به شکل D(g 0 f ) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t» (x). سپس قاعده زنجیره مرتبه دوم با استفاده از قانون زنجیره مرتبه اول اثبات می شود و مفروضات را به گونه ای تنظیم می کند که (Dt, Dg 0 t> در x و y در ( Dt, Dg 0 t> (x) قابل تمایز است. شرط تمایز پذیر بودن y بسیار محدود کننده است. اگر کسی بخواهد که تمایز مستلزم تداوم باشد، این شرط با توجه به بردار توپولوژی های فضایی L(X, Y), L(Y, Z) و L(X, Z) به طور کلی برآورده نمی شوند، حداقل اگر هنوز فرض کنیم که توپولوژی های فضای برداری به گونه ای هستند که در مورد X = R یا C تخصیص طبیعی بین Y و L(X, Y) و بین Z و L(X, Z) هم شکل هستند.

Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei­ neren als normierten Räumen benötigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfällen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel höherer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung für Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g 0 f) (x) = = Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t» (x). Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten­ regel erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, daß (Dt, Dg 0 t> in x und y in (Dt, Dg 0 t> (x) differenzierbar ist. Die Forderung, daß y differenzierbar ist, erweist sich als sehr einschränkend. Verlangt man, daß die Differenzierbarkeit die Stetigkeit nach sich zieht, so ist diese Forderung in Bezug auf Vektorraumtopologien von L(X, Y), L(Y, Z) und L(X, Z) im all­ gemeinen nicht erfüllt, zumindest nicht, wenn man noch annimmt, daß die Vektorraumtopologien so beschaffen sind, daß im Falle X = R oder C die natür­ lichen Zuordnungen zwischen Y und L(X, Y) und zwischen Z und L(X, Z) Iso­ morphien sind.