Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen

تحلیل کمال خود را در تئوری پیچیده توابع می یابد که با قدرت، ظرافت و انسجام خود تحت تأثیر قرار می گیرد. برخی از معماهای دنیای واقعی را می توان با آن حل کرد، برخی از کارهای دشوار یکپارچه سازی به لطف ابزارهای جدید و قدرتمند تبدیل به بازی کودکانه می شوند.

دوره پایه تئوری عملکرد در سه دوره اول خود ارائه می شود. فصل‌ها (توابع هولومورفیک، ادغام در کمپلکس‌ها و تکینگی‌های مجزا) بدون انحراف مهم‌ترین عناصر تحلیل مختلط از یک متغیر، از محاسبه با اعداد مختلط تا مبانی نظریه شگفت‌انگیز مؤثر کوشی تا قضیه باقیمانده.

مجهز به این ابزارها، فصل چهارم به خواننده می گوید که چگونه با استفاده از تابع گاما و توابع بیضوی به عنوان مثال، توابع تحلیلی را با صفرها و قطب های داده شده بسازد. نگاشت‌های منسجم خیلی زود معرفی می‌شوند و سپس با کامل‌تر شدن روش‌ها عمیق‌تر می‌شوند. فصل پنجم پایانی در نظریه توابع هندسی، ارتباط بین نگاشتهای منسجم و توپولوژی مناطق مسطح را برقرار می کند و نشان می دهد که چگونه توابع تحلیلی را می توان به مناطق بزرگتر با کمک اصل بازتاب گسترش داد.

همانطور که در دوره پایه تجزیه و تحلیل، اهمیت زیادی به تفصیل آموزشی داده می شود، اما مهمتر از همه گشت و گذار در دنیای کاربردها از ابتدا متن را همراهی می کند. تمرین‌ها و تصاویر متعدد تصویر را کامل می‌کند.

این کتاب برای دانشجویان دیپلم، کارشناسی و کارشناسی ارشد در رشته‌های ریاضی، علوم طبیعی و فناوری اطلاعات طراحی شده است. این برای خودآموزی، به عنوان خواندن همراه و برای آمادگی امتحان مناسب است.

Die Analysis findet ihre Vollendung in der komplexen Funktionentheorie, die durch ihre Kraft, Eleganz und Geschlossenheit besticht. Manche Rätsel aus dem Reellen können damit aufgelöst werden, manch schwierige Integrationsaufgabe wird dank neuer, mächtiger Hilfsmittel zum Kinderspiel.

Der Grundkurs Funktionentheorie präsentiert in seinen ersten drei Kapiteln (Holomorphe Funktionen, Integration im Komplexen und isolierte Singularitäten) ohne Umwege die wichtigsten Elemente der komplexen Analysis von einer Veränderlichen, vom Rechnen mit komplexen Zahlen über die Grundzüge der verblüffend wirkungsvollen Cauchy-Theorie bis hin zum Residuensatz.

Ausgerüstet mit diesen Werkzeugen erfährt der Leser im vierten Kapitel, wie analytische Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen und Polstellen konstruiert werden, als Beispiele dafür werden die Gamma-Funktion und die elliptischen Funktionen behandelt. Konforme Abbildungen werden schon sehr früh eingeführt und dann mit den immer perfekter werdenden Methoden weiter vertieft. Das abschließende fünfte Kapitel über geometrische Funktionentheorie stellt Zusammenhänge zwischen konformen Abbildungen und der Topologie ebener Gebiete her und zeigt, wie analytische Funktionen mit Hilfe des Spiegelungsprinzips auf immer größere Gebiete fortgesetzt werden können.

Wie im Grundkurs Analysis wird viel Wert auf die didaktische Ausarbeitung gelegt, vor allem aber begleiten den Text von Anfang an Ausflüge in die Welt der Anwendungen. Zahlreiche Übungsaufgaben und Illustrationen runden das Bild ab.

Das Buch wendet sich an Diplom-, Bachelor- und Masterstudierende in Mathematik, Naturwissenschaften und Informationstechnologie. Es ist geeignet zum Selbststudium, als Begleitlektüre und zur Prüfungsvorbereitung.