Grundkurs Funktionalanalysis

Cover......Page 1
Grundkurs
Funktionalanalysis......Page 3
ISBN 9783827421494......Page 4
Vorwort......Page 8
Inhaltsverzeichnis......Page 10
Einleitung......Page 14
I Banachraume und lineare Operatoren......Page 20
1.1 Normen und Metriken......Page 21
1.2 Supremums-Normen......Page 26
1.3 Lp -Normen und Quotientenraume......Page 28
1.4 Aufgaben......Page 36
2 Kompakte Mengen......Page 39
2.1 Der Satz von Arzela-Ascoli......Page 40
2.2 Separable Raume und ein Approximationssatz......Page 44
2.3 Holder- und Sobolev-Normen......Page 48
2.4 Aufgaben......Page 51
3.1 Operatornormen......Page 54
3.2 Isomorphien und Fortsetzungen......Page 58
3.3 Lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Raumen......Page 61
3.4 Lineare Integralund Differentialoperatoren......Page 65
3.5 Aufgaben......Page 68
4.1 Banachalgebren und Neumannsche Reihe......Page 72
4.2 Lineare Integralgleichungen......Page 75
4.3 Grundlagen der Spektraltheorie......Page 77
4.4 Der Banachsche Fixpunktsatz......Page 82
4.5 Nichtlineare Integralgleichungen......Page 84
4.6 Der Satz von Picard-Lindelof......Page 86
4.7 Aufgaben......Page 88
II Fourier-Reihen und Hilberträume......Page 94
5 Fourier-Reihen und Approximationssätze......Page 95
5.1 Der Satz von Fejer......Page 98
5.2 Faltung und Dirac-Folgen......Page 102
5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz......Page 104
5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Raume......Page 106
5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen......Page 112
5.6 Aufgaben......Page 114
6 Hilberträume......Page 118
6.1 Die Parsevalsche Gleichung......Page 121
6.2 Sobolev-Hilbertr¨aume und Fourier-Koeffzienten......Page 126
6.3 Aufgaben......Page 133
7.1 Lineare Operatoren und Matrizen......Page 136
7.2 Orthogonale Projektionen......Page 138
7.3 Adjungierte Operatoren......Page 143
7.4 Selbstadjungierte und unitare Operatoren......Page 148
7.5 Aufgaben......Page 152
III Prinzipien der Funktionalanalysis......Page 156
8.1 Der Satz von Baire......Page 157
8.2 Das Prinzip der gleichmaßigen Beschranktheit......Page 161
8.3 Der Satz von der offenen Abbildung......Page 163
8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen......Page 168
8.5 Aufgaben......Page 171
9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach......Page 174
9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren......Page 179
9.3 Kanonische Einbettung und reffexive Raume......Page 180
9.4 Beispiele von Dualraumen......Page 184
9.5 Stetige Projektionen......Page 188
9.6 Aufgaben......Page 192
10.1 Variationsprobleme......Page 195
10.2 Trennung konvexer Mengen......Page 199
10.3 Uniform konvexe Raume......Page 203
10.4 Schwach konvergente Folgen......Page 207
10.5 Schwach konvergente Teilfolgen......Page 211
10.6 Aufgaben......Page 215
11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen......Page 220
11.1 Kompakte lineare Operatoren......Page 221
11.2 Fredholmoperatoren......Page 227
11.3 Stabilitat des Index......Page 232
11.4 Spektren kompakter Operatoren......Page 236
11.5 Aufgaben......Page 238
12.1 Modelle kompakter Operatoren......Page 242
12.2 Der Spektralsatz fur kompakte normale Operatoren......Page 245
12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren......Page 250
12.4 Singulare Zahlen und Schmidt-Darstellungen......Page 254
12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren......Page 259
12.6 Aufgaben......Page 264
13 Unbeschränkte Operatoren......Page 269
13.1 Abgeschlossene Operatoren......Page 270
13.2 Adjungierte Operatoren......Page 277
13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren......Page 280
13.4 Regulare Sturm-Liouville-Probleme......Page 285
13.5 Evolutionsgleichungen......Page 293
13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik......Page 296
13.7 Aufgaben......Page 300
A.1 Lineare Algebra......Page 304
A.2 Metrische Raume und Kompaktheit......Page 309
A.3 Maße und Integrale......Page 317
A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale......Page 319
A.3.2 Konvergenzsatze......Page 325
A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen......Page 327
A.3.4 Die S¨atze von Fubini und Tonelli......Page 332
A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz......Page 337
Literaturverzeichnis......Page 342
Index......Page 344