Graphs, Surfaces and Homology: An Introduction to Algebraic Topology

viii گروه های همسانی. نتیجه ضعیف‌تر، با این وجود برای اهداف ما کافی است، در فصل 5 ثابت می‌شود، جایی که خواننده نیز بحثی در مورد نیاز به یک قضیه قوی‌تر در واریانس و خلاصه‌ای از اثبات چنین قضیه‌ای پیدا خواهد کرد. ثانیاً تأکید در این کتاب بر نمونه‌های کم‌بعدی نمودارها و سطوح عنوان است، زیرا ریشه شهود هندسی در آنجاست. هدف کتاب بررسی خصوصیات نمودارها در سطوح در فصل 9 است. برخی از مشکلاتی که در آنجا مورد بررسی قرار گرفته اند به اختصار در مقدمه ذکر شده است که شامل بررسی رسمی مطالب کتاب است. بسیاری از نتایج فصل 9 در واقع به ابعاد بالاتر تعمیم می‌دهند (و ماشین‌آلات کلی نظریه همسانی ساده از فصل‌های قبلی در دسترس است) اما من به یک مثال اکتفا کرده‌ام، یعنی قضیه‌ای که سطوح بسته غیرقابل جهت‌یابی در آن گنجانده نمی‌شوند. فضای سه بعدی یکی از نتایج اصلی فصل 9، نسخه‌ای از دوگانگی Lefschetz، قطعاً تعمیم می‌یابد، اما برای ارائه مؤثر، چنین تولیدی به نظریه هم‌شناسی نیاز دارد. جدا از ذکر مختصری در رابطه با قوانین کیرشهوف برای شبکه های الکتریکی، من در اینجا از هیچ همومولوژی استفاده نمی کنم. ثالثاً تعدادی از انحرافات وجود دارد که هدف آنها بیشتر روشن کردن بحث اصلی از فاصله کمی است تا کمک مادی به توضیح آن.

viii homology groups. A weaker result, sufficient nevertheless for our purposes, is proved in Chapter 5, where the reader will also find some discussion of the need for a more powerful in­ variance theorem and a summary of the proof of such a theorem. Secondly the emphasis in this book is on low-dimensional examples the graphs and surfaces of the title since it is there that geometrical intuition has its roots. The goal of the book is the investigation in Chapter 9 of the properties of graphs in surfaces; some of the problems studied there are mentioned briefly in the Introduction, which contains an in­ formal survey of the material of the book. Many of the results of Chapter 9 do indeed generalize to higher dimensions (and the general machinery of simplicial homology theory is avai1able from earlier chapters) but I have confined myself to one example, namely the theorem that non-orientable closed surfaces do not embed in three-dimensional space. One of the principal results of Chapter 9, a version of Lefschetz duality, certainly generalizes, but for an effective presentation such a gener- ization needs cohomology theory. Apart from a brief mention in connexion with Kirchhoff's laws for an electrical network I do not use any cohomology here. Thirdly there are a number of digressions, whose purpose is rather to illuminate the central argument from a slight dis­ tance, than to contribute materially to its exposition.