Global Analysis on Foliated Spaces

تحلیل جهانی به عنوان تمرکز اصلی خود بر تعامل بین تجزیه و تحلیل محلی و هندسه و توپولوژی جهانی یک منیفولد است. این در قضیه گاوس-بونه و تعمیمات آن به صورت کلاسیک دیده می شود. که به قضیه شاخص Ativah-Singer [ASI] ختم می‌شود که برای حل سیستم‌های بیضوی معادلات دیفرانسیل جزئی از نظر شاخص فردهولم عملگر بیضوی مرتبط و اشکال دیفرانسیل مشخصه‌ای که به خواص توپولوژی جهانی مرتبط هستند، محدودیت‌هایی ایجاد می‌کند. تعداد زیاد و متنوع. قضیه شاخص آتیوا-سینگر در چندین جهت تعمیم داده شده است. به ویژه توسط Atiyah-Singer به یک قضیه شاخص برای خانواده ها [AS4]. تنظیمات معمولی در اینجا توسط خانواده ای از عملگرهای بیضوی (Pb) در فضای کل یک بسته فیبر P = F_M_B داده می شود. که در آن فضای هیلبرت در Pb 2 L 1p -llbl.dvollFll تعریف شده است. در این مورد یک کلاس شاخص انتزاعی indlPI E ROIBI وجود دارد. هنگامی که مسئله به درستی فرموله شد، معلوم می شود که برای شناسایی کلاس به اطلاعات تحلیلی عمیق دیگری نیاز نیست. این قضایا و همتایان معادل آنها در توپولوژی بسیار مفید بوده اند. هندسه. فیزیک. و در نظریه بازنمایی.

Global analysis has as its primary focus the interplay between the local analysis and the global geometry and topology of a manifold. This is seen classicallv in the Gauss-Bonnet theorem and its generalizations. which culminate in the Ativah-Singer Index Theorem [ASI] which places constraints on the solutions of elliptic systems of partial differential equations in terms of the Fredholm index of the associated elliptic operator and characteristic differential forms which are related to global topologie al properties of the manifold. The Ativah-Singer Index Theorem has been generalized in several directions. notably by Atiyah-Singer to an index theorem for families [AS4]. The typical setting here is given by a family of elliptic operators (Pb) on the total space of a fibre bundle P = F_M_B. where is defined the Hilbert space on Pb 2 L 1p -llbl.dvollFll. In this case there is an abstract index class indlPI E ROIBI. Once the problem is properly formulated it turns out that no further deep analvtic information is needed in order to identify the class. These theorems and their equivariant counterparts have been enormously useful in topology. geometry. physics. and in representation theory.