Geometry of Subanalytic and Semialgebraic Sets

مجموعه‌های تحلیلی واقعی در فضای اقلیدسی (Le.، مجموعه‌هایی که به صورت محلی در هر نقطه از فضای اقلیدسی با ناپدید شدن یک تابع تحلیلی تعریف می‌شوند) برای اولین بار در دهه 1950 توسط H. Cartan [Car]، H. Whitney [WI- مورد بررسی قرار گرفت. 3]، F. Bruhat [W-B] و دیگران. رویکرد آنها استخراج اطلاعات در مورد مجموعه های تحلیلی واقعی از ویژگی های پیچیدگی های آنها بود. با این حال، پس از ایجاد برخی حقایق هندسی و توپولوژیکی اولیه، مطالعه مجموعه های تحلیلی واقعی راکد ماند. این در تضاد با توسعه سریع هندسه تحلیلی پیچیده بود که به دنبال کارهای پیشگامانه در اوایل دهه 1950 بود. آسیب شناسی خاصی در مورد واقعی به این شکست کمک کرده است. برای مثال، بسته شدن -یا اجزای متصل یک مجموعه ساختنی (Le.، یک اتحادیه محدود محلی از تفاوت‌های مجموعه‌های تحلیلی واقعی) لازم نیست ساختنی باشد (به عنوان مثال، R - {O} و 3 2 2 { ( x، y، z) E R: به ترتیب x = zy2، x + y2 -=I- O}). در پاسخ به این امر در دهه 1960، R. Thorn [Thl]، S. Lojasiewicz [LI,2] و دیگران مطالعه دسته بزرگتری از مجموعه ها، مجموعه های نیمه تحلیلی را انجام دادند، که مجموعه هایی هستند که به صورت محلی در هر نقطه از فضای اقلیدسی تعریف شده اند. توسط تعداد محدودی از برابری ها و نابرابری های تابع تحلیلی. آنها ثابت کردند که مجموعه‌های نیمه تحلیلی لایه‌بندی‌ها و مثلث‌بندی‌های ویتنی را می‌پذیرند، و با استفاده از این ابزارها ساختار توپولوژیکی محلی این مجموعه‌ها را روشن کردند. به عنوان مثال، آنها نشان دادند که بسته شدن و اجزای متصل یک مجموعه نیمه تحلیلی نیمه تحلیلی هستند.

Real analytic sets in Euclidean space (Le. , sets defined locally at each point of Euclidean space by the vanishing of an analytic function) were first investigated in the 1950's by H. Cartan [Car], H. Whitney [WI-3], F. Bruhat [W-B] and others. Their approach was to derive information about real analytic sets from properties of their complexifications. After some basic geometrical and topological facts were established, however, the study of real analytic sets stagnated. This contrasted the rapid develop­ ment of complex analytic geometry which followed the groundbreaking work of the early 1950's. Certain pathologies in the real case contributed to this failure to progress. For example, the closure of -or the connected components of-a constructible set (Le. , a locally finite union of differ­ ences of real analytic sets) need not be constructible (e. g. , R - {O} and 3 2 2 { (x, y, z) E R : x = zy2, x + y2 -=I- O}, respectively). Responding to this in the 1960's, R. Thorn [Thl], S. Lojasiewicz [LI,2] and others undertook the study of a larger class of sets, the semianalytic sets, which are the sets defined locally at each point of Euclidean space by a finite number of ana­ lytic function equalities and inequalities. They established that semianalytic sets admit Whitney stratifications and triangulations, and using these tools they clarified the local topological structure of these sets. For example, they showed that the closure and the connected components of a semianalytic set are semianalytic.