Geometry of Harmonic Maps

نقشه های هارمونیک راه حل هایی برای یک مسئله تغییرات هندسی طبیعی هستند. این مفهوم از مفاهیم اساسی در هندسه دیفرانسیل، مانند ژئودزیک، سطوح حداقل و توابع هارمونیک رشد کرد. نقشه‌های هارمونیک نیز با نقشه‌های هولومورفیک در چندین متغیر پیچیده، با تئوری فرآیندهای تصادفی، نظریه میدان غیرخطی در فیزیک نظری و نظریه کریستال‌های مایع در علم مواد مرتبط هستند. در طول سی سال گذشته این موضوع به طور گسترده توسعه یافته است. هدف این مونوگراف به هیچ وجه ارائه توصیف کاملی از نظریه نقشه های هارمونیک نیست. به عنوان مثال، کتاب بخش بزرگی از تئوری نقشه‌های هارمونیک را از حوزه‌های دو بعدی حذف می‌کند، جایی که روش‌ها کاملاً با روش‌هایی که در اینجا مورد بحث قرار می‌گیرند متفاوت است. فصل اول شامل مطالب مقدماتی است. چندین تعاریف معادل از نقشه های هارمونیک شرح داده شده است، و نمونه های جالب ارائه شده است. خواص و فرمول های مهم مختلفی مشتق شده است. از جمله آنها فرمول نوع بوشنر برای چگالی انرژی و فرمول متغیر دوم است. این فصل نه تنها به عنوان پایه ای برای فصل های بعدی، بلکه به عنوان مقدمه ای کوتاه بر نظریه نیز عمل می کند. فصل 2 به قانون بقای نقشه های هارمونیک اختصاص دارد. تاکید ما بر کاربرد قانون حفاظت در فرمول تک تونسیته و قضایای نوع لیوویل است.

Harmonic maps are solutions to a natural geometrical variational prob­ lem. This notion grew out of essential notions in differential geometry, such as geodesics, minimal surfaces and harmonic functions. Harmonic maps are also closely related to holomorphic maps in several complex variables, to the theory of stochastic processes, to nonlinear field theory in theoretical physics, and to the theory of liquid crystals in materials science. During the past thirty years this subject has been developed extensively. The monograph is by no means intended to give a complete description of the theory of harmonic maps. For example, the book excludes a large part of the theory of harmonic maps from 2-dimensional domains, where the methods are quite different from those discussed here. The first chapter consists of introductory material. Several equivalent definitions of harmonic maps are described, and interesting examples are presented. Various important properties and formulas are derived. Among them are Bochner-type formula for the energy density and the second varia­ tional formula. This chapter serves not only as a basis for the later chapters, but also as a brief introduction to the theory. Chapter 2 is devoted to the conservation law of harmonic maps. Em­ phasis is placed on applications of conservation law to the mono tonicity formula and Liouville-type theorems.